Soit f une fonction définie 'au voisinage de l'infini', c'est à dire dans un intervalle du type ]a,+∞[ ou bien du type ]-∞,a[ ou leur réunion.
On dit que f possède un D.L. d'ordre n au voisinage de l'infini si la fonction composée g(x)=f(1/x) possède un D.L. d'ordre n au voisinage de 0.

Exemple de calcul

Cherchons le D.L. d'ordre 4 au voisinage de l'∞ de
f ( x ) = x 2 2 x 2 + 2 x
Faisons le changement de variable X=1/x et définissons g par g(X)=f(1/x).
Nous avons donc :
g ( X ) = 1 2 X 2 1 + 2 X
Le D.L. à l'ordre 4 de 1/(1+2X) est :
1 1 + 2 X = 1 2 X + 4 X 2 8 X 3 + 16 X 4 + o ( X 4 )
Qui nous donne par multiplication :
g ( X ) = 1 2 X + 2 X 2 4 X 3 + 8 X 4 + o ( X 4 )
Et pour finir :
f ( x ) = 1 2 x + 2 x 2 4 x 3 + 8 x 4 + o ( 1 x 4 )
qui constitue le D.L. d'ordre 4 de f au voisinage de l'infini.