Le résultat qui suit dit qu'on peut intégrer un D.L. terme à terme. Plus précisément :
Soit f une fonction définie et dérivable au voisinage de x0, et telle que la dérivée f'(x) possède un D.L. d'ordre n au voisinage de x0.
f'(x)=a0+a1(x-x0) + ... +an(x-x0)n+o((x-x0)n).
Dans ces conditions f possède un D.L. d'ordre n+1 en x0, disons
f(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)2 + ... + bn(x-x0)n+bn+1(x-x0)n+1 + o((x-x0)n+1)

b0=f(x0)
bk=ak-1/k pour 1 ≤ k ≤n+1

Cette fois encore nous donnerons la preuve dans le cas particulier où x0=0, le cas général s'en déduisant par simple composition avec une translation.
Supposons que f soit dérivable au voisinage de 0 et que f' admette un D.L. d'ordre n du type f'(x)=P(x)+xnε1(x) où lim x 0 ε 1 ( x ) = 0
avec P(x)=a0+a1x+ ... + anxn
Posons Q ( x ) = a 0 x + a 1 2 x 2 + . . . + a n n + 1 x n + 1
On a Q'(x)=P(x) donc f'(x)-Q'(x)=xnε1(x)
Donc d'après le théorème des accroissement finis, il existe θ ∈ ]0,1[ tel que :
f(x)-Q(x)-(f(0)-Q(0))=x(f'(θx)-Q'(θx))=xn+1θnε1(θx)=xn+1ε2(x)
avec lim x 0 ε 2 ( x ) = lim x 0 θ n ε 1 ( θx ) = 0
Et puisque Q(0)=0 on a f(x)=f(0)+Q(x)+xn+1ε2(x)
C.Q.F.D.

Exemples d'application

Partant de 1 1 x = 1 + x + x 2 + . . . + x n + o ( x n )
On obtient par intégration :
ln ( 1 x ) = x + x 2 2 + x 3 3 + . . . + x n + 1 n + 1 + o ( x n + 1 )
Soit encore ln ( 1 + x ) = x x 2 2 + x 3 3 . . . + ( 1 ) n x n + 1 n + 1 + o ( x n + 1 )
Un résultat déjà vu ici et .
Partant de sin(x)=x+o(x2) on obtient par intégration :
cos(x)=1-x2/2+o(x3)
puis par intégration répétée :
sin(x)=x-x3/3+o(x4)
et ainsi de suite, retrouvant ainsi les résultats déjà vus ici.
Partant de exp(x)=1+o(x), on obtient par intégration :
exp(x)=1+x+o(x2)
Puis en répétant :
exp(x)=1+x+x2/2+o(x2)
et ainsi de suite, retrouvant ainsi le résultat déjà vu ici.
S'il est possible d'intégrer un D.L. il n'est pas possible, en revanche de les dériver.
Considérons par exemple la fonction définie au voisinage de 0 par :
f ( x ) = { 1 + x + x 2 sin ( 1 x )  si  x 0 1  si  x = 0
On a bien évidemment un D.L. du premier ordre f(x)=1+x+o(x)
f est dérivable en tout point f'(0)=0 et f ' ( x ) = 1 + 2 x sin ( 1 x ) cos ( 1 x )
Mais on n'a pas de D.L. en 0 pour f' puisque f' n'est pas continue en 0.