Dans toute cette page nous supposerons que nous avons affaire à deux fonctions numériques f et g, définies au voisinage d'un même point a. Les ordres peuvent être différents disons que f admet en a un développement d'ordre m et g un développement d'ordre n. Nous aurons à faire intervenir le minimum des deux nombres m et n soit r=inf(m,n).
Nous cherchons à construire un D.L. pour des fonctions construites à partir de f et g en utilisant les opérations élémentaires (somme, produit par un scalaire, produit, quotient, composée).
Nous suggérons au lecteur de revoir éventuellement les pages sur les opérations algébriques sur les fonctions numériques ainsi que la composition des applications.

D.L. d'une somme

Supposons pour fixer les idées que f possède un D.L. d'ordre 2 et g un D.L. d'ordre 3 au voisinage d'un même point x0.
On peut donc écrire :
f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+o((x-x0)2)
g(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)2+b3(x-x0)3+o((x-x0)3)
Remarquons maintenant que toute puissance de (x-x0) strictement supérieure à 2 est o((x-x0)2), et que toute fonction qui est o((x-x0)k) avec k > 2 est a fortiori o((x-x0)2).
Il en résulte qu'à partir d'un D.L. d'ordre k > 2 on peut obtenir un développement d'ordre 2 pour g en oubliant le terme de degré 3.
Plus généralement si m < n un D.L. d'ordre m s'obtient à partir d'un D.L. d'ordre n en oubliant tous les termes d'ordre k > m.
Nous avons donc :
f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+o((x-x0)2)
g(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)2+o((x-x0)2)
Compte tenu du fait évident que o((x-x0)2)+o((x-x0)2)=o((x-x0)2), nous obtenons par addition :
(f+g)(x)=(a0+b0) + (a1+b1)(x-x0) +(a2+b2)(x-x0)2+o((x-x0)2).
C'est à dire un D.L. d'ordre 2 pour la fonction f+g au voisinage de x0.
Tout ceci se généralise bien entendu sans difficulté:
A partir d'un D.L. d'ordre m pour f et d'ordre n pour g au même point x0, on obtient un développement d'ordre r=inf(m,n) pour la fonction f+g par simple addition des coefficients d'ordre k ≤ r deux à deux.
Et dans le cas où m=n l'approximation de Taylor de f+g est exactement la somme (en tant que polynômes) de l'approximation de Taylor de f avec l'approximation de Taylor de g.

D.L. d'un produit

Supposons cette fois encore, pour un exemple simple que f possède un D.L. d'ordre 2 et g un D.L. d'ordre 3 au voisinage d'un même point x0.
C'est à dire :
f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+o((x-x0)2)
g(x)=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)2+b3(x-x0)3+o((x-x0)3)
Si nous effectuons terme à terme le produit du D.L. de f par le D.L. de g, nous obtenons un polynôme de degré m+n ainsi qu'une somme de termes qui sont tous des produits de la forme o((x-x0)m) par une puissance de (x-x0) soit des produits de la forme o((x-x0)n) par une puissance de (x-x0). Chacun de ces termes, donc aussi leur somme, est un o((x-x0)r).
Cependant dans le développement du produit de l'approximation de Taylor de f par l'approximation de Taylor de g, tous les monômes de degré > r sont des o((x-x0)r). Il en résulte qu'en prenant seulement les termes du produit dont le degré est ≤ r on obtient un D.L. d'ordre r pour le produit f×g. Cela se généralise facilement :
Pour obtenir le D.L. d'ordre r du produit de f et g au point a il suffit de faire le produit de T(f,m,a,x) pat T(g,n,a,x) et de délaisser tous les termes de degré > r.

Exemple d'application

Trouver le développement d'ordre 3 de la fonction sin(x)cos(x) au voisinage de 0.
On part de :
sin(x)=x-x3/6 + o(x3) et cos(x)=1-x2/2+o(x3)
En appliquant la règle du produit ci-dessus et en développant il vient:
sin(x)cos(x)=x -2x3/3 + o(x3).
On peut d'ailleurs retrouver ce résultat directement en utilisant la formule sin(x)cos(x)=sin(2x)/2

Cas particulier

Un cas particulier intéressant est celui où la fonction g est une constante α. On obtient alors la règle suivante:
Un D.L. d'ordre n de la fonction αf s'obtient en multipliant par la constante α tous les coefficients d'un D.L. d'ordre n de la fonction f.
On peut d'ailleurs combiner cette règle avec la précédente sur les sommes pour obtenir la suivante concernant les combinaisons linéaires de fonctions.
Si f et g sont deux fonctions définies au voisinage d'un même point x0 et si f et g possèdent toutes deux en x0 des D.L. d'ordre n et si en outre α et β sont des constantes, alors la fonction αf+βg possède également un développement d'ordre n au voisinage de x0 et les coefficients de ce développement sont obtenus à partir de ceux de f et g par la même relation linéaire, c'est à dire:
ck=αak+βbk.

D.L. d'une composée

Pour énoncer simplement et correctement le résultat principal, il faut commencer par préciser ce qu'on entend par 'composé de deux polynômes'.
Soit F et G deux polynômes à une variable réelle. Nous utiliserons l'inconnue Y pour l'écriture de F et l'inconnue X pour le polynôme G de sorte que
F ( Y ) = k = 0 m a k Y k
et
G ( X ) = k = 0 n b k X k
Le polynôme FoG, dénommé 'composé de F et G', est le polynôme obtenu en substituant G(X) à l'inconnue Y dans l'expression de F.
On notera la similitude avec la composition des fonctions. Il se trouve que dans le cas des polynômes à coefficients réels il y a bijection entre les polynômes formels et les fonctions polynômes et les deux notions coïncident.
Voyons maintenant ce qu'on appelle 'troncature' d'un polynôme.
Soit P(X) un polynôme de degré q ≥ r (r et q étant deux entiers). On appelle 'tronqué de P au niveau r', le polynôme formé à partir de P en annulant tous les coefficients de rang > r.
Tous les monômes d'ordre > r disparaissent donc de sorte que le résultat est de degré au plus égal à r.
Nous avons maintenant tout ce qu'il faut pour énoncer notre résultat.
Si g admet un D.L. d'ordre n en x0, et si f admet un D.L. d'ordre m au point y0=f(x0), alors fog admet un D.L. d'ordre r=inf(m,n) au point x0, et ce D.L. n'est autre que le tronqué au niveau r du composé du D.L. de f avec le D.L. de g (lequel est de degré m+n).
En gros ce résultat dit que, tout comme dans le cas des dérivées, les D.L. se composent comme les applications à ceci près qu'il faut délaisser les termes de degrés insignifiants par rapport à un certain ordre.

Pour ne pas trop alourdir l'exposé nous effectuons la démonstration dans le cas particulier où m=n et où x0=y0=0.
On peut montrer que ces hypothèses ne sont nullement réductrices.
Ce qui fait que si F est le D.L. de f à l'ordre n et si G est le D.L. de g au même ordre, comme écrit plus haut on a :
f(y)=F(y)+ynε1(y) où lim y 0 ε 1 ( y ) = 0
g(x)=G(x)+xnε1(x) où lim x 0 ε 2 ( x ) = 0
En outre les hypothèses faites sur x0 et y0 (nuls tous deux) entrainent que a0=b0=0, de sorte que la sommation commence à l'indice 1 dans les polynômes F et G.
De là nous tirons :
f ( g ( x ) ) = F ( G ( x ) + x n ε 2 ( x ) ) + ( G ( x ) + x n ε 2 ( x ) ) n ε 1 ( G ( x ) + x n ε 2 ( x ) )
Mais nous avons :
( G ( x ) + x n ε 2 ( x ) ) n = x n ( b 1 + b 2 x + . . . + b n x n 1 + x n 1 ε 2 ( x ) ) n = x n h ( x )
où h est une fonction bornée au voisinage de 0.
Mais nous avons aussi :
F ( G ( x ) + x n ε 2 ( x ) ) F ( G ( x ) ) = k = 1 n a k ( ( G ( x ) + x n ε 2 ( x ) ) k G ( x ) k ) = k = 1 n a k x n ε 2 ( x ) u k ( x )
où les uk sont des fonctions bornées au voisinage de 0.
Donc F ( G ( x ) + x n ε 2 ( x ) ) = F ( G ( x ) ) + x n ε 4 ( x )
lim x 0 ε 4 ( x ) = 0
On obtient donc pour finir :
f(g(x))=F(G(x))+xnε5(x) où lim x 0 ε 5 ( x ) = 0
C.Q.F.D.

Exemple

Pour un exemple d'application voir le programme python dans la section ci-dessous qui calcule un D.L. de exp(sin(x)) au voisinage de 0.

D.L. d'une fonction inverse

Remarquons tout d'abord que la fonction 1 1 x possède au voisinage de 0 et pour tout entier n un D.L. d'ordre n qui est 1 + x + x 2 + . . . + x n + o ( x n )
Par composition il en est de même de la fonction 1/x au voisinage de 1 puisque 1/x est composée de la fonction précédente avec la fonction (1-x), en clair pour x voisin de 1:
1 x = 1 1 ( 1 x ) = 1 + ( 1 x ) + ( 1 x ) 2 + . . . + ( 1 x ) n + o ( ( 1 x ) n )
Cette formule nous donne donc au voisinage de y0
1 y = 1 y 0 ( 1 + ( 1 y y 0 ) + . . . + ( 1 y y 0 ) n ) + o ( ( y y 0 ) n )
Il résulte de tout cela en appliquant le résultat sur la composition que :
Si la fonction f possède un D.L. d'ordre n en x0 et si f(x0) n'est pas nul, alors la fonction 1/f qui est composée de f avec 1/x possède également un D.L. d'ordre n au voisinage de x0.

Exemple d'application

Sachant que le développement limité de cosinus au voisinage de 0 est cos(x)=1-x²/2+o(x²), trouver le développement de 1/cos(x).
Il suffit donc de remplacer y par 1-x²/2 dans la formule ci-dessus avec x0=0 et y0=1.
Il vient
1 cos ( x ) = 1 + x 2 2 + o ( x 2 )

D.L. d'un quotient

En écrivant f g = f × 1 g
et en appliquant conjointement le résultat sur le D.L. d'un produit et le D.L. de l'inverse d'une fonction on obtient un théorème sur le D.L. d'un quotient f/g au voisinage d'un point x0 où g(x0) ≠ 0.

Exemple d'application

Cherchons le développement de la fonction tan(x) au voisinage de 0 en partant de la définition tan(x)=sin(x)/cos(x).
On part des développements des sinus et cosinus à l'ordre 3 :
sin(x)=x-x3/6+o(x3)
cos(x)=x-x2/2+o(x3)
On calcul le D.L. à l'ordre 3 de l'inverse de cosinus comme ci-dessus, puis par produit on obtient :
tan(x)=x-2x3/3+o(x3) au voisinage de 0.
Un calcul direct par Taylor-Young est possible en calculant les dérivées successives de la fonction tangente tan', tan" , etc... et leurs valeurs au point 0, mais c'est plus long.

Café Python

Voici une modification d'un programme précédent qui permet le calcul des D.L. des sommes et des produits par surcharge d'opérateurs :

Voici maintenant une classe de polynômes implémentant la composition pour déterminer le développement limité d'une fonction composée ; ici nous avons pris comme exemple la fonction exp(sin(x)) au voisinage de 0.