Voici quelques développements limités usuels au voisinage de l'origine.
  • 1 1 x = 1 + x + x 2 + . . . + x n + o ( x n ) progression géométrique
  • 1 1 + x = 1 x + x 2 . . . + ( 1 ) n 1 x n + o ( x n ) en remplaçant x par -x dans le précédent (composition)
  • ln ( 1 + x ) = x x 2 2 + x 3 3 x 4 4 + . . . + ( 1 ) n + 1 x n n + o ( x n ) par intégration du précédent
  • 1 1 + x 2 = 1 x 2 + x 4 x 6 + . . . + ( 1 ) n x 2 n + o ( x 2 n ) en remplaçant x par x² dans le second
  • arctan ( x ) = x x 3 3 + x 5 5 x 7 7 + ( 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 + o ( x 2 n + 1 ) par intégration du précédent
  • e x = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . + x n n ! + o ( x n ) par Maclaurin parce que toutes les dérivées de ex sont égales à ex.
  • sin ( x ) = x x 3 3 ! + x 5 5 ! x 7 7 ! + . . . . + ( 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + o ( x 2 n + 1 ) par périodicité des dérivées du sinus et Maclaurin
  • cos ( x ) = 1 x 2 2 ! + x 4 4 ! . . . + ( 1 ) n x 2 n 2 n ! + o ( x 2 n ) par périodicité des dérivées du cosinus et Maclaurin
  • tan ( x ) = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + o ( x 5 ) par quotient des deux précédents
  • sinh ( x ) = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + . . . + x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! + o ( x 2 n + 1 ) par le développement de l'exponentielle et la définition du sinus hyperbolique
  • cosh ( x ) = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + . . . + x 2 n ( 2 n ) ! + o ( x 2 n ) par le développement de l'exponentielle et la définition du cosinus hyperbolique
  • tanh ( x ) = x x 3 3 + 2 x 5 15 + o ( x 5 ) quotient des deux précédents
  • arg th ( x ) = x + x 3 3 + x 5 5 + . . . + x 2 n + 1 2 n + 1 + o ( x 2 n + 1 ) en remplaçant x par x² dans le développement de 1/(1-x) et par intégration.
  • ( 1 + x ) a = 1 + ax + a ( a 1 ) 2 ! x 2 + a ( a 1 ) ( a 2 ) 3 ! x 3 + . . . + a ( a 1 ) . . . ( a n + 1 ) n ! x n + o ( x n ) par dérivations successives de (1+x)a et Maclaurin
  • 1 1 x 2 = 1 + x 2 2 + . . . + 1.3.5 . ( 2 n 1 ) 2.4.6 . . . 2 n x 2 n + o ( x 2 n ) en appliquant le résultat précédent avec a=-1/2 et en remplaçant x par -x²
  • 1 1 + x 2 = 1 x 2 2 + . . . + ( 1 ) n 1.3.5 . ( 2 n 1 ) 2.4.6 . . . 2 n x 2 n + o ( x 2 n ) même technique que précédement.
  • arcsin ( x ) = x + x 3 2.3 + . . . + 1.3.5 . . . ( 2 n 1 ) 2.4.6 . . . ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 + o ( x 2 n + 1 ) par intégration du développement de 1/√(1-x²)
  • arg sh ( x ) = x x 3 2.3 + . . . + ( 1 ) n 1.3.5 . . . ( 2 n 1 ) 2.4.6 . . . ( 2 n + 1 ) x 2 n + 1 + o ( x 2 n + 1 ) par intégration du développement de 1/√(1+x²)