Les développements limités ont de nombreuses applications en analyse. Ils servent en particulier à lever des indéterminations dans le calcul des limites, en remplaçant des fonctions plus ou moins complexes par des équivalents polynomiaux.
Ils peuvent également servir à étudier certaines singularités des courbes comme les points d'inflexion en étudiant la position d'une courbe par rapport à sa tangente.
Ils peuvent également servir à étudier les branches infinies d'une courbe

Calcul de limites

On se propose d'évaluer la limite :
lim x 0   x 0 1 sin 2 ( x ) 1 x 2
1 sin 2 ( x ) 1 x 2 = x 2 sin 2 ( x ) x 2 sin 2 ( x ) = x 4 3 2 x 6 45 + o ( x 6 ) x 2 sin 2 ( x ) = 1 sin 2 ( x ) ( x 2 3 2 x 4 45 + o ( x 4 ) ) = 1 3 ( x sin ( x ) ) 2 2 45 ( x sin ( x ) ) 2 x 2 + o ( x 2 )
et comme lim x 0 x sin ( x ) = 1
La limite cherchée vaut 1/3

Position d'une courbe par rapport à sa tangente

On se propose d'évaluer la position de la courbe représentative de la fonction
f ( x ) = x 3 + 5 x x 2 + 3
par rapport à sa tangente à l'origine.
On trouve immédiatement que l'équation de la tangente est y = 5 3 x
Le développement limité de f à l'origine à l'ordre 3 est :
f ( x ) = 5 3 x 8 9 x 3 + o ( x 3 )
Ce qui montre que la courbe est au-dessus de la tangente pour x < 0 et en-dessous pour x > 0.
La courbe travers donc sa tangente à l'origine. On dit qu'on a un "point d'inflexion".

Etudier les branches infinies de fonctions

On veut étudier les branches infinies de la fonction :
f ( x ) = x 2 x + 1 e sin ( 1 x ) 2 x ln ( 1 + 1 x )
Pour x → +∞ et x → -∞
Posons y=1/x, nous avons alors :
f ( x ) = 1 y ( e sin ( y ) 1 + y 2 ln ( 1 + y ) ) = 1 y ( 1 2 y + 3 2 y 2 = o ( y 2 ) ) = 1 y 2 + 3 2 y + o ( y 2 ) y = x 2 + 3 2 x + o ( 1 x )
Ce calcul montre que la courbe admet une asymptote oblique d'équation y=x-2.
Il montre en outre que la courbe est au-dessus de son asymptote pour x → + ∞ et en dessous pour x → -∞.