Formule de Taylor-Lagrange

J-L Lagrange (1736/1813-FR-IT)

Ce théorème fournit une première évaluation du reste de Taylor.
Avec les hypothèses et les notations de l'introduction on peut l'énoncer ainsi:

Soit b un point de I on suppose que f est de classe Cⁿ sur [a,b] (ou bien [b,a] si b < a) et que f⁽ⁿ⁺¹⁾ existe sur ]a,b[ (resp. ]b,a[).
Dans ces conditions ∃ c ∈ ]a,b[ (resp. ]b,a[) tel que :

R (b) = f^{(n + 1)} (c) \frac{{(b - a)}^{n + 1}}{(n + 1)!}

Remarquons d'abord que pour n=0 on retrouve le théorème des accroissements finis usuel.
Considérons la fonction

F (x) = f (b) - \sum_{k = 0}^{n} f^{(k)} (x) \frac{{(x - b)}^{k}}{k!}

Alors on a F(b)=0 et par application des régles de dérivation des sommes et des produits :

F' (x) = - f^{(n + 1)} (x) \frac{{(b - x)}^{n}}{n!}

Posons maintenant :

G (x) = \frac{{(b - x)}^{n + 1}}{(n + 1)!}

D'après le théorème de la moyenne de Cauchy Il existe un point c de l'intervalle d'extrêmités a et b tel que :

\frac{F (b) - F (a)}{G (b) - G (a)} = \frac{F' (c)}{G' (c)}

Ce qui nous donne exactement le résultat voulu.
Remarquons que ce résultat fournit une majoration du reste.
Si f⁽ⁿ⁺¹⁾ est majorée par M sur I on a

R (b) \leq M \frac{{(b - a)}^{n + 1}}{(n + 1)!}