J-L Lagrange (1736/1813-FR-IT)

Ce théorème fournit une première évaluation du reste de Taylor.
Avec les hypothèses et les notations de l'introduction on peut l'énoncer ainsi:
Soit b un point de I on suppose que f est de classe Cn sur [a,b] (ou bien [b,a] si b < a) et que f(n+1) existe sur ]a,b[ (resp. ]b,a[).
Dans ces conditions ∃ c ∈ ]a,b[ (resp. ]b,a[) tel que :
R ( b ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( b a ) n + 1 ( n + 1 ) !
Remarquons d'abord que pour n=0 on retrouve le théorème des accroissements finis usuel.
Considérons la fonction
F ( x ) = f ( b ) k = 0 n f ( k ) ( x ) ( x b ) k k !
Alors on a F(b)=0 et par application des régles de dérivation des sommes et des produits :
F ' ( x ) = f ( n + 1 ) ( x ) ( b x ) n n !
Posons maintenant :
G ( x ) = ( b x ) n + 1 ( n + 1 ) ! D'après le théorème de la moyenne de Cauchy Il existe un point c de l'intervalle d'extrêmités a et b tel que :
F ( b ) F ( a ) G ( b ) G ( a ) = F ' ( c ) G ' ( c )
Ce qui nous donne exactement le résultat voulu.
Remarquons que ce résultat fournit une majoration du reste.
Si f(n+1) est majorée par M sur I on a
R ( b ) M ( b a ) n + 1 ( n + 1 ) !