P.S. Laplace (1749/1827-FR)

Ce théorème fournit une autre évaluation du reste de Taylor.
Avec les hypothèses et les notations de l'introduction on peut l'énoncer ainsi:
Si f est de classe Cn+1 sur [a,b] (resp.[b,a]) alors R ( b ) = a b f ( n + 1 ) ( x ) ( b x ) n n ! dx
La preuve est simple, il suffit de considérer la fonction :
G ( x ) = k = 0 n f ( k ) ( x ) ( x b ) k k !
On voit que sous les hypothèses faites G est dérivable et que G ' ( x ) = f ( n + 1 ) ( x ) ( b x ) n n !
Il suffit donc d'écrire G ( b ) G ( a ) = a b G ' ( x ) dx