Si a=0, alors la formule de Taylor prend le nom de formule de Maclaurin.
Dans ce cas l'approximation d'ordre n de Maclaurin est le polynôme T ( n , f ) ( x ) = k = 0 n f ( k ) ( 0 ) k ! x k
et le reste de Maclaurin est R(n,f)(x)=f(x)-T(n,f)(x).
Dans le cas où f est de classe Cn+1 sur [0,b] (resp. [b,0]) une majoration du reste sur l'intervalle [0,b] (resp [b,0]) est
R ( n , f ) ( x ) M b n + 1 ( n + 1 ) !

M = sup x [ 0 , b ] f ( n + 1 ) ( x )

Exemple d'application

Nous cherchons par exemple une approximaton de la fonction f: x → (1+x)a au voisinage de 0.
On a f'(x)=a(1+x)a-1.
f"(a)=a(a-1)(1+x)a-2
Et par récurrence f(n)(x) = a(a-1)(a-n+1)(1+x)a-n.
En appliquant au point 0, l'approximation de Maclaurin de f est donc
T ( x ) = 1 + ax + a ( a 1 ) 2 ! x 2 + a ( a 1 ) ( a 2 ) 3 ! x 3 + . . . + a ( a 1 ) ( a 2 ) . . . ( a n + 1 ) n ! x n