Définition

La lecture de la présente page suppose un pré-requis. Il faut connaître la définition des séries entières et certaines de leurs propriétés relatives à la convergence.
On pourra trouver toute l'information nécessaire ici.
On dit que la fonction f définie au voisinage de x0 est 'développable en série entière en x0' (ou encore 'analytique' en x0), s'il existe une suite de coefficients réels a0, a1, .., an, ..., telle que :
f ( x ) = k = 0 a n ( x x 0 ) n
Il résulte de cette définition, ainsi que des propriétés des séries entières, que si f est analytique en x0, f possède en ce point des D.L. d'ordre n, pour n entier quelconque et que la suite (an) n ∈ est unique, que f est indéfiniment dérivable en x0 et que les coefficients an sont données par :
a n = f ( n ) ( x 0 ) n !

Fonctions usuelles

Les développements en séries entières des fonctions usuelles à l'origine seront obtenues à partir de leurs développements limités à l'origine rassemblés dans cette page.
Le rayon de convergence, noté R, des séries sera obtenu par des majorations du reste, du type de celle présentée dans cette page.
1 1 x = k = 0 x k R=1
1 1 + x = k = 0 ( 1 ) k x k R=1
ln ( 1 + x ) = k = 1 ( 1 ) k 1 x k k R=1
1 1 + x 2 = k = 0 ( 1 ) k x 2 k R=1
arctan ( x ) = k = 0 ( 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 R=1
sin ( x ) = k = 0 ( 1 ) k x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! R=∞
sinh ( x ) = k = 0 x 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) ! R=∞
cos ( x ) = k = 0 ( 1 ) k x 2 k ( 2 k ) ! R=∞
cosh ( x ) = k = 0 x 2 k ( 2 k ) ! R=∞
e x = k = 0 x k k ! R=∞
argth ( x ) = k = 0 x 2 k + 1 2 k + 1 R=1
( 1 + x ) a = 1 + k = 1 a ( a 1 ) . . . ( a k + 1 ) k ! x k R=1
1 1 x 2 = k = 0 1.3.5 . . . ( 2 k 1 ) 2.4.6 . . . 2 k x 2 k R=1
1 1 x 2 = k = 0 ( 1 ) k 1.3.5 . . . ( 2 k 1 ) 2.4.6 . . . 2 k x 2 k R=1
arcsin ( x ) = k = 0 1.3.5 . . . ( 2 k 1 ) 2.4.6 . . . ( 2 k + 1 ) x 2 k + 1 R=1
arg sh ( x ) = k = 0 ( 1 ) k 1.3.5 . . . ( 2 k 1 ) 2.4.6 . . . ( 2 k + 1 ) x 2 k + 1 R=1

Café Python

Voici un programme python d'application de ce qui précède: