William-Henry Young
(1863/1942-UK)
Nous utilisons ici les définitions et les notations de la page d'introduction.
Le théorème de Taylor-Young peut s'énoncer ainsi:
R(n,f,a)(x)=o((x-a)n)
Ce qui, en langage plus clair, signifie que T est une approximation de f d'ordre n au sens que l'erreur commise en remplaçant f par le polynôme T au voisinage de a est négligeable devant (x-a)n.
La preuve est simple si on remarque que la fonction R=R(n,f,a) est n fois dérivable en a et vérifie:
R(0)(a)=R(1)(a)= ... = R(n)(a)=0
Pour montrer que :
lim x a , x a R ( x ) ( x a ) n = 0
Il suffit d'appliquer n fois à répétition la règle de l'Hospital.
Voici maintenant une appliquette vous permettant de voir des approximations polynomiales de la fonction exponentielle sur l'intervalle [-1,+1].
Vous pouvez fixer l'ordre n de cette approximation obtenue avec la formule de Taylor-Young :
exp(x)=1+x+x2/2! + ... + xn/n! +o(xn)
En bleu l'exponentielle, en vert l'approximation de Taylor.
Les deux tendent à se confondre pour n > 6.

Applications

On cherche une approximation d'ordre 3 de la fonction sinus au voisinage de 0.
Sachant que la dérivée de sin est cos que la dérivée seconde de sin est -sin et que la dérivée d'ordre 3 est -cos, il vient :
sin(x)=x-x3/6+o(x3).
On cherche une approximation d'ordre 3 de la fonction cosinus au voisinage de 0.
Sachant que la dérivée de cos est -sin, que la dérivée seconde de cos est -cos que la dérivée troisième est sin, il vient :
cos(x)=1-x2/2+o(x3)