Remarquons d'abord que la propriété essentielle du logarithme népérien, à savoir la relation fonctionnelle f(xy)=f(x)+f(y) pour x et y dans ]0,+∞[ n'est pas satisfaite par cette seule fonction.
En effet toute fonction du type x → kln(x) satisfait la même relation.
Inversement supposons que f est une fonction dérivable sur ]0,+∞[ vérifiant f(xy)=f(x)+f(y).
Faisons tout d'abord quelques remarques sur une telle fonction:
On a nécessairement f(1)=0.
Si f est constante alors f est la fonction nulle.
On a par dérivation par rapport à x yf'(xy)=f'(x), donc f'(y)=f'(1)/y.
Ce qui donne deux possibilités: On voit donc que les seules fonctions dérivables non nulles qui vérifient f(xy)=f(x)+f(y) sont les fonctions x → kln(x).

Logarithme de base a

Par définition nous posons pour tout réel a>0, a≠1 et tout x >0 loga(x)=ln(x)/ln(a).
Nous définissons ainsi une fonction loga de ℝ+ dans ℝ, appelée 'logarithme de base a'.
Ainsi ces fonctions sont continues et dérivables sur ]0,+∞[ et de dérivée 1/(xln(a)). Elles sont donc croissantes pour a>1 et décroissantes pour a ∈ ]0,1[
Remarquons que pour a entier la partie entière de loga(x) est égale au nombre de chiffres de la partie entière de x écrite en base a moins une unité.
log10(10)=1 log10(100)=2, etc...
Pour des raisons historiques (et pratiques) la base 10 était autrefois largement utilisée dans les tables numériques. Depuis l'apparition des calculettes et des ordinateurs, cette utilisation tombe en désuétude.
Par contre les logarithmes de base 2 restent largement utilisés dans la théorie de l'information (une branche du calcul des probabilités).
Voici une appliquette vous permettant de voir les représentations graphiques des fonctions y=loga(x), lorsque le paramètre a varie dans l'intervalle ]1,10[.
Faites varier a avec le curseur.
La courbe y=loga(x) est tracée en vert.
La courbe de référence y=ln(x) est tracée en bleu.

Voici une appliquette vous permettant de voir les représentations graphiques des fonctions y=loga(x), lorsque le paramètre a varie dans l'intervalle ]0,1[.
Faites varier a avec le curseur dans l'intervalle [0.01,0.99].
La courbe y=loga(x) est tracée en vert.
La courbe de référence y=ln(x) est tracée en bleu.

Exponentielle de base a

La fonction 'exponentielle de base a' est par définition la réciproque du logarithme de base a. On la noté x → ax
Nous avons donc ax=exln(a)
Les fonctions x → ax sont donc continues et dérivables sur ℝ. Leur sens de variation est le même que celui de loga.
La dérivée de x → ax est x → ln(a)ax.
Voici une appliquette vous permettant de voir les représentations graphiques des fonctions y=ax, lorsque le paramètre a varie dans l'intervalle ]1,10[.
Faites varier a avec le curseur.
La courbe y=ax est tracée en vert.
La courbe de référence y=ex est tracée en bleu.

Voici une appliquette vous permettant de voir les représentations graphiques des fonctions y=ax, lorsque le paramètre a varie dans l'intervalle ]0,1[.
Faites varier a avec le curseur entre 0.01 et 0.99.
La courbe y=ax est tracée en vert.
La courbe de référence y=ex est tracée en bleu.

A l'attention des débutants en programmation

On peut donner un sens à toute expression du genre yx où y est un nombre strictement positif.
Ceci doit être compris comme exln(y).
Le calcul de cette quantité nécessite donc l'évaluation d'un logarithme et d'une exponentielle.
La plupart des langages informatiques, y compris le langage Python, proposent des fonctions de la biliothèque de math pour le calcul de yx.
Ces fonctions sont généralement notées 'pow' (en anglais power=puissance) et on peut les obtenir par surcharge d'opérateurs comme ^ (caret) ou bien **.
Souvent les débutants, pour élever une variable X au carré, utilisent l'expression pow(X,2) ou X**2 ou X^2, au lieu de X*X. Ce faisant, ils remplacent une simple multiplication par un appel de fonction logarithme et un appel de fonction exponentielle.
D'une part le temps de traitement s'en ressent:

D'autre part, même dans le cas où les variables x et y sont entières, le résultat peut ne pas être entier puisque les fonctions du type pow travaillent avec des flottants et commencent à convertir les entiers en flottants avec perte de précision.