Hommage à ...

John Napier dit 'Neper'(1550/1617-UK) Leonhard Euler(1707/1783-CH)
On peut hiérarchiser les fonctions numériques suivant leur degré de complexité, c'est à dire suivant la difficulté (moyenne) à calculer l'image d'un élément quelconque.
Au bas de l'échelle nous trouvons les fonctions qui n'impliquent que des additions et des multiplications. Ce sont ces fonctions que nous avons qualifiées de 'polynomiales'.
Immédiatement au dessus, nous trouvons les fonctions pour lesquelles un calcul d'inverse (une division) est nécessaire. Ce sont les fonctions dites 'rationnelles' qui apparaissent comme des quotients de deux polynômes.
Viennent ensuite les fonctions nécessitant une extraction de radicaux, fonctions parfois qualifiées "d'irrationnelles".
Nous réservons le nom de fonction 'transcendante' à toute fonction n'entrant dans aucune des catégories précédentes.
Les exemples classiques de telles fonctions sont la fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle.
La définition de ces fonctions peut se faire de plusieurs manières, mais nécessite dans tous les cas un bagage mathématique minimum. Soit des notions de calcul différentiel et intégral, soit des notions sur les séries entières.
Chaque méthode de présentation de ces fonctions a des avantages et des inconvénients. On peut commencer par définir la fonction logarithme népérien par une intégrale, puis définir l'exponentielle comme la réciproque du logarithme (point de vue classique adopté ici), ou bien au contraire définir d'abord l'exponentielle au moyen d'une série entière. Curieusement, appartiennent à cette même catégorie de fonctions, les fonctions trigonométriques élémentaires (sinus et cosinus) qui sont très liées à l'exponentielle. Cependant, les formules exprimant cette dépendance s'expriment simplement dans le cas des fonctions d'une variable complexe et à valeurs complexes, ce qui n'est pas le point de vue adopté dans ce module.
Ce n'est pas par hasard si on retrouve ici le mot 'transcendant', déjà rencontré dans le chapitre sur les nombres réels. C'est qu'en général, l'image par ces fonctions d'un nombre entier ou rationnel est un nombre transcendant. En conséquence on se contentera toujours d'approximations des images des nombres réels, obtenues par des algorithmes plus ou moins performants.
Cette classification toutefois ne fournit pas un critère absolu de difficulté de calculabilité. Les fonctions irrationnelles de degré supérieur ou égal à 5, ne rélèvent pas de méthodes de calcul par radicaux, et sont donc d'un degré de complexité tout à fait comparable à certaines fonctions qualifiées de transcendantes.