Nous donnons tout d'abord les définitions de ces fonctions liées à l'exponentielle.
Nous listons ensuite leurs propriétés, sans démonstrations. Les preuves ne présentent aucune difficulté et sont de simples vérifications.
Nous observerons une grande similitude au niveau des formules (dérivation, formules d'addition de duplication) avec les fonctions trigonométriques, d'où leurs noms.
Le qualificatif d'hyperbolique est lié au fait que si t → (acost,bsint) est un paramétrage classique de l'ellipse d'équation
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
alors t → (acosht,bsinht) est un paramétrage d'une branche de l'hyperbole d'équation
x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1
l'autre branche étant paramétrée par t → (-acosht,bsinht).

Définitions

Sinus hyperbolique

Pour tout x réel nous posons:
sinh ( x ) = e x e x 2
Nous définissons ainsi une fonction de ℝ dans ℝ appelée 'sinus hyperbolique'.
Graphe de la fonction sinus hyperbolique.
La fonction sinh est impaire et strictement croissante de ℝ dans ℝ.

Cosinus hyperbolique

Pour tout x réel nous posons:
cosh ( x ) = e x + e x 2
Nous définissons ainsi une fonction de ℝ sur [1,+∞[ appelée 'cosinus hyperbolique'.
Graphe de la fonction cosinus hyperbolique.
La fonction cosh est paire, strictement décroissante de ]-∞,0[ sur [1,+∞[, strictement croissante de [0,+∞[ sur [1,+∞[.

Tangente hyperbolique

Pour tout x réel nous posons:
tanh ( x ) = sinh ( x ) cosh ( x )
Nous définissons ainsi une fonction de ℝ sur ]-1,+1[ appelée 'tangente hyperbolique'.
Graphe de la fonction tangente hyperbolique.
La fonction tanh est impaire et strictement croissante de ℝ sur ]-1,+1[.

Cotangente hyperbolique

Pour tout x réel nous posons:
cotanh ( x ) = cosh ( x ) sinh ( x )
Nous définissons ainsi une fonction de ℝ-{0} sur ]-∞,-1[ ∪ ]1,+∞[ appelée 'cotangente hyperbolique'.
Graphe de la fonction cotangente hyperbolique.
La fonction cotanh est impaire et strictement décroissante de ]-∞,0[ sur ]-∞,-1[ et strictement décroissante de ]0,+∞[ sur ]1,+∞[.

Dérivation

Il résulte de la définition même des fonctions hyperboliques que ce sont des fonctions continues et indéfiniment dérivables sur leurs domaines comme quotient de sommes de fonctions indéfiniment dérivables. On a les formules suivantes (à comparer avec les fonctions trigonométriques):

Développement en séries entières

On les obtient pour sinh et cosh à partir du développement de l'exponentielle.
sinh ( x ) = n = 0 x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !
cosh ( x ) = n = 0 x 2 n ( 2 n ) !

Formules usuelles

Voici quelques équations satisfaites par les fonctions hyperboliques. On remarquera la similitude (souvent à un signe près) avec les fonctions trigonométriques.
cosh2x-sinh2x=1
Formules d'addition:
sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)
cosh(x+y)=cosh(x)cosh(y)+sinh(x)sinh(y)
Formules d'angle moitié:
cosh ( x 2 ) = cosh ( x ) + 1 2
et sinh ( x 2 ) = cosh ( x ) - 1 2 si x≥0
Formules impliquant la tangente hyperbolique:
tanh 2 ( x ) = 1 1 cosh 2 ( x )
tanh ( x + y ) = tanh ( x ) + tanh ( y ) 1 + tanh ( x ) tanh ( y )
tanh ( x 2 ) = cosh x 1 cosh x + 1