Les preuves des affirmations suivantes sont des applications directes du cours, certaines sont proposées en exercice.

Argument sinus hyperbolique

Il résulte de la définition de la fonction sinh et de ses propriétés que cette fonction possède une fonction réciproque notée argsh et appelée 'argument sinus hyperbolique', définie sur ℝ et à valeurs dans ℝ.
Représentation graphique de la fonction argument sinus hyperbolique:
Cette fonction est impaire, strictement croissante, continue et dérivable sur son domaine et de dérivée:
argsh ' ( x ) = 1 x 2 + 1
La fonction argsh possède une forme logarithmique:
argsh ( x ) = ln ( x + x 2 + 1 )
Une primitive de argsh est:
argsh ( x ) dx = x argsh ( x ) x 2 + 1

Argument cosinus hyperbolique

Il résulte de la définition de la fonction cosh et de ses propriétés que cette fonction possède une fonction réciproque notée argch et appelée 'argument cosinus hyperbolique' de [1,+∞[ sur [0,+∞[.
Représentation graphique de la fonction argument cosinus hyperbolique:
Cette fonction est strictement croissante, continue et dérivable sur son domaine et de dérivée:
argch ' ( x ) = 1 x 2 - 1
La fonction argch possède une forme logarithmique:
argch ( x ) = ln ( x + x 2 - 1 )
Une primitive de argsh est:
argch ( x ) dx = x argch ( x ) x 2 - 1

Argument tangente hyperbolique

Il résulte de la définition de la fonction tanh et de ses propriétés que cette fonction possède une fonction réciproque notée argth et appelée 'argument tangente hyperbolique' de [-1,+1[ sur [-∞,+∞[.
Représentation graphique de la fonction argument tangente hyperbolique:
Cette fonction est impaire, strictement croissante, continue et dérivable sur son domaine et de dérivée:
argth ' ( x ) = 1 1 x 2
La fonction argth possède une forme logarithmique:
argth ( x ) = 1 2 ln ( 1 + x 1 x )
Une primitive de argth est:
argth ( x ) dx = x argth ( x ) + 1 2 ln ( 1 x 2 )

Argument cotangente hyperbolique

Il résulte de la définition de la fonction cotanh et de ses propriétés que cette fonction possède une fonction réciproque notée argcoth et appelée 'argument tangente hyperbolique' de ]-∞,-1[ ∪ ]1,+∞[ sur ℝ* .
Représentation graphique de la fonction argument cotangente hyperbolique:
Cette fonction est impaire, strictement décroissante sur ]-∞,-1[, strictement croisante sur ]1,+∞[, continue et dérivable sur son domaine et de dérivée:
argth ' ( x ) = 1 1 x 2
La fonction argcoth possède une forme logarithmique:
argcoth ( x ) = 1 2 ln ( 1 + x x 1 )
Une primitive de argcoth est:
argcoth ( x ) dx = x argcoth ( x ) + 1 2 ln ( x 2 1 )