Définition

Pour tout x ∈ ]0,+∞[ on pose: ln ( x ) = 1 x 1 t dt
ln(x) est appelé le 'logarithme népérien' de x.
Il résulte imédiatement de la définition que:
La fonction x → ln(x) est continue et dérivable sur ]0,+∞[ et de dérivée 1/x. En particulier il s'agit d'une fonction strictement croissante, négative pour x ∈ ]0,1[, qui s'annule en 1, et positive pour x ∈ ]1,+∞[ .
Voici une appliquette vous permettant de visualiser la fonction logarithme népérien.
Vous pouvez faire varier x entre 0.1 et 9 au moyen du curseur.
En vert: la courbe y=1/x.
En bleu: la courbe y=ln(x).
La surface ombrée en rouge est la valeur absolue de ln(x) suivant notre définition.

Equation fonctionelle satisfaite par ln

La fonction ln est un homomorphisme de (ℝ*+,×) sur (ℝ,+), plus précisément: ln(xy)=ln(x)+ln(y) ∀ (x,y) ∈ ]0,+∞[2.
Soit y un réel >0 et considérons la fonction g: x → ln(xy). On voit immédiatement par le théorème de dérivation des fonctions composées que g'(x)=y/(yx)=1/x. Donc g(x)=ln(x)+K où K est une constante. Faisant x=1 dans cette équation, il vient K=ln(y).
Il en résulte aussitôt que pour tout réel x >0 et tout entier n:
ln(1/x)=-ln(x)
ln(xn)=nln(x)
On obtient également très vite, à partir de là:
ln ( x p q ) = p q ln ( x ) pour x >0 et p et q entiers q≠0.

Comportement aux bornes du domaine

Il résulte du fait que ln est strictement croissante que soit ln tend vers une limite finie pour x → +∞ si ln est bornée, soit ln tend vers +∞ si elle n'est pas bornée. Montrons que:
limn→+∞ln(x)=+∞.
Considérons en effet la suite un=2n qui est strictement croissante et tend vers +∞. Si ln était bornée et tendait vers la limite L la suite ln(un) tendrait aussi vers L. Mais ln(un)=nln(2) → +∞, d'où notre proposition.
Il résulte immédiatement de cette proposition et du fait que ln(1/x)=-ln(x) que:
limx→0+ln(x)=-∞

Le nombre e

Il résulte du fait que ln est strictement croissante et tend vers +∞ quand x tend vers +∞ qu'il existe un unique nombre réel e>1 tel que ln(e)=1.
En effet ln(1)=0. Comme ln est strictement croissante et tend vers ∞ il existe un réel a tel que x > a ⇒ ln(x) > 2, Il suffit donc d'appliquer le théorème de la valeur intermédiaire à la fonction ln qui est continue sur l'intervalle [1,a].
e s'appelle la constante d'Euler. Une valeur approchée de e est 2.7182818.

Vitesse de croissance du logarithme népérien

Le graphe de la fonction ln présente une branche parabolique dans la direction Ox quand x tend vers +∞
La fonction ln(x)/x tend vers 0 quand x tend vers l'infini.
En effet soit g(x)=ln(x)/x. On voit tout de suite que g ' ( x ) = 1 ln ( x ) x 2
Donc g est décroissante et positive sur ]e,+∞[. Il en résulte que g tend vers une limite L ≥ 0. Posant un=2n on a L=limn→+∞g(un)=limn→∞ nln(2)/2n=0. La foncton ln tend vers +∞ plus lentement que toute puissance rationelle positive de x. Plus précisément:
limx→+∞ ln(x)/xs=0 si s est un rationnel >0 quelconque.
Cela résulte en effet du fait que limn→+∞ ln(xs)/xs=0 et de ln(xs)=sln(x)

Développement en série entière

Nous avons déjà vu que ln ( 1 + x ) = n = 1 ( 1 ) n + 1 x n n
Cette formule peut servir au calcul de ln(x) pour x∈]0,1[ puis pour tout x par la formule ln(1/x)=-ln(x).