Introduction

Ceci est le premier chapitre du module consacré à la branche des mathématiques que l'on désigne communément par 'géométrie affine'. La géométrie est une des plus anciennes, conjointement avec l'arithmétique, des spécialités mathématiques. Elle a été développée dès la plus haute antiquité par les égyptiens et les grecs, mais de façon fort différente.
Comme son nom l'indique la géométrie (mesure de la terre) est une science qui trouve naturellement son origine dans les civilisations agricoles où le partage des terres est un problème récurrent.
La géométrie classique vise à donner un modèle de l'espace physique dans lequel nous vivons, tel que nous le percevons. Cette perception peut s'éloigner beaucoup de la réalité, une première simplification consistant à considérer localement la surface de la terre comme une portion de plan. Il est clair que les anciens n'ont pas développé a priori une géométrie 'sphérique', on a donc négligé des 'courbures' spatiales et plus encore des courbures relativistes dues à la structure de l'espace-temps. Néanmoins les modèles qui ont été développés sont suffisants, de nos jours encore, pour résoudre un grand nombre de problèmes simples. On continue donc et on continuera certainement à enseigner la géométrie dite 'classique' ou 'euclidienne'.
Tandis que l'arithmétique se consacre à l'étude des nombres, la géométrie traite, elle, d'objets tels que les points, les droites, les plans, et les 'figures' conçues comme des ensembles de points (segments, polygones, cercles, etc...). C'est évidemment la notion de 'mesure' qui relie les deux théories.
La vision grecque de la géométrie et des mathématiques en général, diffère largement des approches concurrentes des grandes civilisations de l'antiquité. Alors que les égyptiens et les babyloniens cherchent à répondre à la question 'comment', les grecs se penchent plutôt sur le 'pourquoi' des choses. Bref, les mathématiques grecques sont déductives, c'est ce qui fait leur originalité et c'est ce qui fait que c'est le modèle de toute théorie scientifique, aujourd'hui encore.
Les 'Éléments' d'Euclide, traité de géométrie de l'antiquité attribué à tort ou à raison au seul mathématicien Euclide dont nous savons fort peu de choses sinon qu'il vécu à Alexandrie, constitue aujourd'hui encore le modèle d'exposé mathématique 'moderne' avec une axiomatique (un ensemble de propositions considérées comme vraies a priori) et des 'théorèmes' qui se déduisent logiquement de ces prémisses par l'application de règles de déduction. On pourra, pour cette vision des choses revoir le module des bases de mathématiques consacré à la logique usuelle. Cet ouvrage a une importance capitale, car non seulement il a constitué un 'modèle' (ayant encore une certaine valeur de nos jours) mais il a constitué le 'corpus' de la tradition de l'enseignement de la géométrie en Europe jusqu'à la seconde moitié du 20° siècle.
La géométrie étant, avec l'arithmétique, un modèle des sciences déductives ont peut dire que les "Éléments" d'Euclide ont une importance capitale dans l'histoire des sciences en général. C'est un des ouvrages (avec la Bible) les plus imprimés au monde pendant les 20 siècles écoulés.
Dans cette optique la 'figure' (dessin géométrique) constitue la base du raisonnement.

L'apport de Descartes

René Descartes, se penche sur la géométrie d'un point de vue classique mais il renforce le lien entre l'algèbre et la géométrie. Par l'utilisation d'un repère et de coordonnées, les points peuvent être remplacées par des ensembles de nombres, et les figures par des équations.
Ce point de vue est moderne en ce qu'il 'réduit' la géométrie à l'algèbre en rendant possible un degré d'abstraction supplémentaire par l'élimination des 'figures'.

L'époque moderne

Deux personnalités scientifiques de tout premier plan font progresser la géométrie de manières différentes. Il s'agit de David Hilbert et de Felix Klein, tous deux originaires d'Allemagne.
Hilbert publie "Grundlagen der Geometrie" (Les fondements de la géométrie) en 1899. Il remplace les cinq axiomes usuels de la géométrie euclidienne par 21 axiomes. Son système élimine les faiblesses de la géométrie d'Euclide, la seule enseignée à ce moment.
Felix Christian Klein (25 avril 1849 à Düsseldorf, Allemagne - 22 juin 1925 à Göttingen) est un mathématicien allemand, connu pour ses travaux en théorie des groupes, en géométrie non euclidienne, et en analyse. Il a aussi énoncé le très influent programme d'Erlangen, qui ramène l'étude des différentes géométries à celle de leurs groupes de symétrie respectifs. Klein introduit donc le nouveau concept de 'groupe' en géométrie, et remplace l'étude d'une figure par l'étude du groupe des automorphismes la laissant invariante. C'est une vision moderne de la géométrie que propose Klein permettant d'étudier la géométrie 'euclidienne' parallèlement à des géométries concurrentes découvertes aux 19° siècle (Lobatchevski, Bolyai, Riemann)dans un cadre commun. Toutes ces géométrie ont une axiomatique de base différente de celle d'Euclide.

Le point de vue présenté ici

Historiquement, la notion de vecteur et l'algèbre linéaire sont des notions mathématiques apparues bien après les notions de points de droites et de figures géométriques. Cependant il est possible de formaliser l'algèbre linéaire sans faire appel à des notions géométriques. Les espaces de dimension finies sont tous simplement des produits cartésiens finis d'un certain nombre d'exemplaire d'un même corps (par exemple ℝ) ainsi le 'plan vectoriel' est tout simplement ℝ2.
Par ailleurs, ces espaces permettent de construire simplement des modèles satisfaisant à l'axiomatique de Hilbert, donc de développer une géométrie 'euclidienne' sur des bases solides.
C'est le point de vue des 'espaces affines' qui ne sont qu'une autre manière de voir les espaces vectoriels (un autre formalisme). C'est un point de vue qui s'est imposé, y compris dans l'enseignement secondaire pendant la période 1960-1985.
Par la suite, ce qu'il convient d'appeler la 'contre-réforme' visant à éradiquer les mathématiques modernes de l'enseignement secondaire (et d'une certaine façon de l'enseignement supérieur par conséquence) a voulu rompre avec cette 'nouvelle tradition' visant à présenter la géométrie comme fille de l'algèbre linéaire.
Les arguments proposés avaient des solidités diverses (on pouvait reprocher le manque de représentation du au fait que beaucoup d'élèves formés à cette école n'avaient jamais vu une figure géométrique) ainsi que le refus de présenter des théories de façon axiomatique quelles qu'elles soient.
On aurait pu penser que l'abolition de la 'mathématique moderne' signifiait le retour de la tradition. De fait il n'en fut rien, l'enseignement de la géométrie est aujourd'hui largement sacrifié au niveau des ambitions et au niveau des horaires (ce qui va de pair). Une illustration en est donnée par le contenu des nouveaux programmes de seconde.
Quoiqu'il en soit le niveau actuel des lycéens en mathématiques, en France, est déplorable, mais cela se sent en particulier en géométrie.
L'enseignement supérieur n'a pas décidé de combler cette lacune. La géométrie 'affine' qui rappelons-le n'est qu'une autre facette de l'algèbre linéaire, n'est pas enseignée au début des études de licence.
Or de fait l'étude simultanée de l'algèbre linéaire et de la géométrie affine (je veux dire des deux langages d'une même théorie) permet d'éclairer l'une et l'autre. Les concepts de l'algèbre linéaire sont éclaircis par des figures. Les résultats élémentaires de géométrie apparaissent comme des conséquences de théorèmes simples d'algèbre linéaire.
Une des conséquences est que les informaticiens travaillant sur des développements graphiques manquent des outils de base indispensables à la représentation d'objets sur des écrans. Ils ont des lacunes énormes pour tout ce qui concerne le dessin vectoriel, ne savent pas comment décider si un point appartient à une droite, calculer la distance d'un point à une droite, etc... Ils s'emmerveillent de redécouvrir que le produit de deux rotations de l'espace est une transformation du même type, etc. , etc.
J'ai pu me rendre compte de ces lacunes en qualité de modérateur/rédacteur d'un forum d'algorithmique. Les participants titulaires le plus souvent d'un diplôme de niveau bac+2 s'émerveillent de redécouvrir des formules connues auparavant de la plupart des élèves de seconde.
Voilà le résultat auquel nous sommes parvenus en un peu plus de deux décennies de laxisme impardonnable. J'espère que ce module, avec les nombreux programmes donnés en exemple leur permettra d'actualiser leurs connaissances.

Galerie des portraits

Le 'portrait' d'Euclide est évidemment une oeuvre d'imagination parmi d'autres (datant du 18° siècle) .
Euclide (-325/-265?-Alexandrie) René Descartes (1596/1650-FR) Felix Klein(1859/1925-DE) David Hilbert (1862/1943-DE)