La présente page a pour but de présenter un concept particulièrement important en mécanique. Il s'agit de la généralisation du concept de centre de gravité d'un système. On considère en mécanique (et particulièrement en dynamique) des mobiles représentés comme des corps dont toute la masse est concentrée en un point. Leur trajectoire peut donc être assimilée à celle d'un point et se confond donc avec une courbe.
Il va de soi que toutes les forces s'appliquant à un tel solide idéalement réduit peuvent être considérées comme ayant leur point d'application en ce point.
Par la suite les systèmes de tels points deviennent des ensembles de ces points avec des interactions fortes telles que les positions relatives de ces points ne varient pas.
Un solide continu peut être considéré comme le système obtenu par passage à la limite dans des systèmes de tels points. Dans les formules les intégrales remplaceront alors les sommes finies. La notion de centre de gravité pourra alors être étendue à de tels solides.

Systèmes de points pondérés

Soit A un espace affine associé à un espace vectoriel E.
Un 'point pondéré' consiste en la donnée d'un couple (P,λ) où P est un point de A et λ est un scalaire (un élément de K).
Un tel point pondéré est donc un élément du produit cartésien A×K.
Un 'système de points pondérés' consiste en la donnée d'une suite finie ordonnée de points pondérés.
Un tel système sera donc noté S=((P11),(P22) , ... ,(Pnn))
La 'masse totale' du système S=((P11),(P22) , ... ,(Pnn)) est le scalaire λ=λ12+ ... +λn
Un 'sous-système' S2 d'un système pondéré S1 est un système dont tous les points pondérés appartiennent au système S
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Barycentres

Soit S=((P11),(P22) , ... ,(Pnn)) un système de points pondérés d'un espace affine A, de masse totale non nulle.
Alors le point G défini par :
OG = ( 1 i = 1 n λ i ) i = 1 n λ i O P i
ne dépend pas du point O choisi pour le définir.
Soit O' un autre point il suffit d'appliquer la relation de Chasles aux triangles O,O',G et O,O',Pi, c'est à dire O ' G = O ' O + OG et O ' P i = O ' O + O P i pour obtenir :
O'G = ( 1 i = 1 n λ i ) i = 1 n λ i O' P i
Avec les notations et les hypothèses de la proposition ci-dessus, G s'appelle le 'barycentre' du système S.
Il résulte immédiatement de la définition que :
Le premier résultat provient de la commutativité de l'addition des vecteurs et de l'addition des scalaires.
Le second signifie que dans un système de masse totale non nulle, les points de masse nulle n'interviennent pas dans la détermination du barycentre.
Prenant en particulier G pour origine, il vient :
Le barycentre du système S est également l'unique point G vérifiant : i = 1 n λ i G M i = 0
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser le barycentre d'un système de deux points pondérés S=((A,a),(B,b)).
Vous pouvez déplacer les points A et B par un 'tirer-déplacer' à la souris.
Vous pouvez faire varier les coefficients a et b à l'aide des curseurs.
Le point G apparaît s'il n'est pas 'trop éloigné' des extrémités du segment.
Remarquez ce qui se passe quand les deux coefficients sont de même signe, quand ils sont de signes opposés, quand un des coefficients est nul, quand les deux coefficients sont égaux.

Principe d'homogénéité

Le principe d'homogénéité affirme que :
Le barycentre d'un système pondéré ne change pas quand on multiplie les masses de tous les points par un même scalaire non nul.
La preuve est immédiate sur la définition.

Théorème d'associativité

Ce résultat est moins trivial que le principe d'homogénéité. On peut l'énoncer ainsi :
Supposons que le système S, de masse totale non nulle, soit réunion se p sous-systèmes S1, S2, ... , Sp tous de masse totale non nulle.
Désignons par G1 le barycentre du sous-système S1, G2 le barycentre du sous-système S2, ... , Gp le barycentre du sous-système Sp.
Désignons par m1 la masse totale du sous-système S1, m2 la masse totale du sous-système S2, ... , mp la masse totale du sous-système Sp.
Dans ces conditions si G est le barycentre du système total S, G est aussi le barycentre du système ((S1,m1),(S2,m2), ... ,(Sp,mp))
Tout cela revient à dire que pour la détermination du barycentre d'un système, on peut remplacer globalement tous les points d'un sous-système par leur barycentre, pourvu qu'il soit défini. Cependant dans une telle substitution le barycentre partiel 'pèse' autant que tous les points qu'il remplace.

Nous allons commencer par faire la preuve dans un cas particulier simple, le cas où S est la réunion de deux sous-systèmes S1 et S2 :
S1=((P11), ... ,Pmm)
S2=((Pm+1m+1), ... ,Pnn)
On introduit alors G1 barycentre de S1 et G2 barycentre de S2.
Il faut montrer que si G est barycentre de S alors G est aussi barycentre de ((G1,m1),(G2,m2)), où m11+ ...+λm et m2m+1+ ...+λn.
Le barycentre G du système ((G1,m1),(G2,m2)) peut être caractérisé par :
m 1 G G 1 + m 2 G G 2 = 0
Utilisant alors G G 1 = 1 m 1 i = 1 m λ i G P i et G G 2 = 1 m 2 i = m + 1 n λ i G P i
il vient i = 1 n λ i G P i = 0 qui prouve notre assertion.
La démonstration en toute généralité se fait par récurrence sur le nombre de sous-systèmes et le principe de commutativité.
Voici une appliquette qui vous permet de visualiser le barycentre G d'un système de trois points pondérés S=((A,a),(B,b),(C,c)).
Vous pouvez déplacer les points A, B et C par un 'tirer-déplacer' à la souris.
Vous pouvez faire varier les coefficients a, b et c à l'aide des curseurs.
G1 est le barycentre du système ((A,a),(B,b)), G2 celui du système ((A,a),(C,c)) et G3 celui de ((B,b),(C,c)).
Observez les alignements resultatnt du théorème d'associativité. Vous pouvez également visualiser le théorème d'associativité en action lorsque vous faites varier un seul coefficient, le point G se déplace sur une droite.
Cette droite passe par un sommet et un point du côté opposé à ce sommet.
Ce point correspond à la valeur nulle du coefficient que vous êtes en train de moduler.
Observez la position du point G en fonction des signes des 3 coefficients.
Observez ce qu'il se passe quand un coefficient est nul, quand deux coefficients sont nuls.
Observez encore ce qu'il se passe quand deux coeffcients sont égaux, quand les 3 sont égaux.

Isobarycentres

Lorsque les masses de tous les points d'un système sont égales on parle "d'isobarycentre" du système.
On remarquera que par le principe d'homogénéité peu importe ce que sont ces masses du moment qu'elles soient égales. On peut donc, si on veut, supposer qu'elles sont toutes égales à 1.
L'isobarycentre d'un système de p points dans un corps de caractéristique p, n'est pas défini, car dans ce cas la masse totale est nulle.

Cas de deux points

Dans ce cas particulier S=((a,1),(B,1)) l'isobarycentre porte le nom de 'milieu'.
Ceci suppose évidemment que le corps n'est pas de caractéristique 2.

Cas de 3 points

Dans ce cas particulier (pour un système S=((A,1),(B,1),(C,1)) l'isobarycentre porte le nom de 'centre de gravité du triangle'.
Cela suppose qu'on n'est pas dans un corps de caractéristique 3.
Remarque: Le théorème d'associativité, dans ce cas particulier, nous donne immédiatement comme corollaire:
Dans un triangle quelconque les 3 médianes sont concourantes et leur point de concours se trouve au 1/3 de chaque médiane en partant du pied.
L'appliquette qui suit visualise ce résultat important.
Avec la souris vous pouvez tirer-déplacer chacun des trois sommets A,B,C du triangle.

Cas de 4 points

Dans le plan

Dans ce cas particulier, pour un quadrilatère ABCD donc, nous obtenons grâce au théorème d'associativité, le résultat suivant.
Dans tout quadrilatère les médianes se coupent en leur milieu.
En outre, ce point de concours est le milieu du segment joignant les milieux des diagonales.
L'appliquette qui suit visualise ce résultat.
Avec la souris vous pouvez tirer-déplacer chacun des quatre sommets A,B,C,D du quadrilatère.

Dans l'espace

Dans tout tétraèdre les quatre segments joignant chaque sommet au centre de gravité du triangle opposé se coupent en un point.
Le point d'intersection est situé sur chaque segment aux 3/4 en partant du sommet.

Café Python

Voici un module extrait d'un programme précédent et que nous utiliserons à plusieurs reprises

Voici maintenant un module python qui modélise, les points pondérés et les systèmes de tels points avec les méthodes de calcul de la masse totale et du barycentre.