Définition

Un espace affine consiste en la donnée d'un ensemble A dont les éléments sont appelées les 'points' (généralement notés par des capitales d'imprimerie, P,Q, etc.), ainsi que d'un espace vectoriel E sur un corps K dit 'associé', tels que:
E opère sur A, à droite, c'est à dire qu'il existe une loi externe (P,u) → P+u de A×E → A possédant les propriétés suivantes:
  1. On a P+ 0 = P ∀P∈A
  2. (P+u) + v=P+(u + v) ∀P∈A et ∀(u,v) ∈ E×E
  3. ∀ (P,Q) ∈ A×A ∃! u ∈ E tel que Q=P+u, ce vecteur est noté PQ ou parfois Q-P ou encore PQ (caractères gras)
Il résulte immédiatement de la définition et des notations utilisées que:
Si l'espace vectoriel E associé à un espace affine A est de dimension finie n, on appelle 'dimension de A' le nombre n, c'est à dire la dimension de E.
Si K=ℝ on parle "d'espace affine réel".
L'appliquette qui suit vous permet de visualiser les choses.
Trois actions sont possibles :
  1. Vous pouvez faire varier le vecteur u représenté en bleu à l'origine du repère, par un tirer-déplacer (drag n' drop) sur son extrêmité.
  2. Vous pouvez faire varier le vecteur v représenté en vert à l'origine du repère, par un tirer-déplacer (drag n' drop) sur son extrêmité.
  3. Vous pouvez également déplacer le point P en le tirant avec la souris.
Quand l'opération est terminée vous voyez le point Q tel que Q=P+u, soit PQ=u, ainsi que le point R tel que R=P+v, soit PR=v.
Vous voyez également le vecteur w=u+v, ainsi que le point S tel que S=P+w, c'est à dire PS=w

Exemples

Il est clair que tout espace vectoriel E sur tout corps K est un espace affine associé à lui-même par la loi :
(x,u) → x+u
Nous allons voir immédiatement que cet exemple est d'une certaine façon le seul qui importe.

Identification d'un espace affine avec son espace vectoriel associé

Soit A un espace affine ayant pour espace vectoriel associé E.
Choisissons un point quelconque O de A que nous appellerons 'origine'. L'application M → OM devient alors une bijection de A sur E (d'après les définitions). Cette bijection peut être utilisée pour transposer à A la structure d'espace vectoriel de E. A devient ainsi un espace vectoriel isomorphe à E.
Donc, dans le cas de la dimension finie, comme tout espace vectoriel sur K est isomorphe à Kn, il n'y a, à un isomorphisme près qu'un seul espace affine de dimension n, à savoir Kn lui-même.
C'est en particulier vrai quand K=ℝ et n=2 ou 3. C'est à dire pour le plan réel ℝ2 et l'espace réel ℝ3.

Café python

Modélisation des espaces vectoriels

Voici tout d'abord en python une classe pour modéliser tous les espaces vectoriels Kn.
n peut être un entier quelconque ≥ 1 et K peut être :

Modélisation des espaces affines

Voici maintenant les espaces affines associés aux espaces vectoriels précédents (objets points).