Parallélisme

Soient B et B' deux variétés linéaires d'un même espace affine A, de directions F et F' respectivement. On dit que B' est 'paralléle' à B si F' ⊆ F.
Nous dirons que B et B' sont 'parallèles entre elles' si F=F'.
Cette relation de parallélisme est évidemment une relation d'équivalence. Le résultat suivant est une évidence :
Si B' est parallèle à B et que B et B' possèdent un seul point commun alors B' ⊆ B.
Il en résulte aussitôt que :
Deux variétés parallèles entre elles sont soit disjointes soit confondues.
Nous avons en outre le résultat suivant :
Soit B une variété linéaire et P un point quelconque. Par P il passe une et une seule variété B' telle que B et B' soient parallèles entre elles.
En effet si F est la direction de B la variété cherchée est manifestement P+F.

Voici une appliquette vous permettant de visualiser des droites affines parallèles entre elles.
Vous pouvez faire varier le point P en le tirant-déplaçant à la souris.
Vous pouvez faire varier le point Q en le tirant-déplaçant à la souris.
Vous pouvez également faire varier le vecteur directeur de la droite vectorielle directrice commune (de couleur bleue) en tirant-déplaçant son extrêmité.
Les droites affines parallèles apparaissent en vert, la droite vectorielle (sous-espace directeur) apparaît en noir.
Voici maintenant une représentation de deux plans (strictement parallèles).

Intersection d'une famille de variétés linéaires.

On constate sur la définition que :
L'intersection de deux variétés linéaires est encore une variété linéaire si elle est non vide.
Cette propriété s'étend aux familles finies et infinies de variétés.
Ce résultat, d'une démonstration évidente, est bien sûr à mettre en parallèle avec le contenu de cette page.
De plus, pour ce qui concerne l'intersection d'une famille de variétés (quand elle est non vide) :
Le sous-espace directeur de l'intersection est l'intersection des sous-espaces directeurs des variétés de la famille.

Variétés engendrées

Soit X une partie non vide d'un espace affine A.
Il existe des variétés linéaires contenant X (en particulier la variété 'totale' B=A). L'intersection de toutes ces variétés est encore une variété (elle est non vide car contenant X).
C'est évidemment, de par sa définition la plus petite des variétés de A contenant X, on l'appelle la variété 'engendrée' par X.
Sa direction est l'intersection des directions des variétés contenant X.

Cas d'une partie finie

On suppose maintenant que X est constituée d'un nombre fini de points (disons n+1) X= {P0,P1, ...,Pn}.
On cherche à caractériser la variété engendrée par X.
Nous avons le premier résultat suivant :
L'ensemble des barycentres des n+1 points P0, P1, ... ,Pn (affectés de coefficients de masse totale non nulle) est exactement la variété engendrée par ces n+1 points.
La démonstration est simple. Par le théorème d'associativité des barycentres l'ensemble B en question est une variété linéaire.
Or chaque point Pi est le barycentre du système ((P0,0),(P1,0), ..., (Pi,1), ...,(Pn,0))donc B contient tous les Pi.
En outre toute variété contenant les Pi doit contenir B par définition des variétés d'où le résultat.
Pour ce qui concerne le sous-espace directeur de cette variété engendrée, nous avons le résultat suivant :
Le sous-espace directeur de la variété engendrée par les n+1 points P0, P1, ..., Pn est le sous-espace engendré par les n vecteurs P0P1 , P0P2 , ... ,P0Pn
En effet si F est ce sous-espace il est clair que P0+F est une variété et que toute variété contenant P0, P1, .... ,Pn doit contenir cette variété.

Points affinements indépendants

Il résulte du paragraphe qui précède que :
La variété linéaire engendrée par un système de n+1 points est de dimension au plus égale à n.
Cette remarque appelle la définition suivante :
On dit que les n+1 points P0, P1, ... ,Pn sont 'affinement indépendants' si la dimension de la variété qu'ils engendrent est exactement n.
Cela revient à dire que les les n vecteurs P0P1 , P0P2 , ... ,P0Pn sont linéairement indépendants.
Voici quelques exemples :

Coordonnées barycentriques

Reprenons le cas de n+1 points affinement indépendants qui engendrent une variété de dimension n. Tout point P de cette variété est un barycentre d'un système ((P00), (P11), ... ,(Pnn)). Mais à cause du principe d'homogénéité le jeu de coefficients (λ1, λ2, ... ,λn) n'est en général pas unique.
Cependant si nous prenons P0 pour origine, dire que P est barycentre du système ((P00), (P11), ... ,(Pnn)) signifie que : P 0 P = ( 1 i = 0 n λ i ) i = 1 n λ i P 0 P i
Mais les vecteurs P0P1, ..P0Pn étant linéairement indépendants les n+1 nombres :
α i = λ i k = 0 n λ k de masse totale 1 sont eux, uniques.
On les appelle les 'coordonnées barycentriques' de P dans le système (P0, ...,Pn) de n+1 points affinement.
Ce système de points est appelé également 'base affine' pour la variété engendrée.

Dimension d'une intersection

Nous nous intéressons au cas particulier des variétés non parallèles.
Dans ce cas, si nous sommes dans un espace affine de dimension n. L'intersection d'une variété de dimension p avec une variété de dimension q est de dimension au moins égale à p+q-n.
Ceci résulte immédiatement de ce qui précède sur le sous-espace directeur d'une intersection ainsi que des résultats sur la dimension d'une intersection. Ainsi :
Intersection de deux plans non parallèles (une droite). Intersection d'une droite et d'un plan.

Site: http://homeomath.imingo.net/geoesp4.htm