Vous avez maintenant sans doute l'habitude de certaines démarches.
Une fois définie une catégorie d'objet (les ensembles, les groupes, les anneaux, les corps, les espaces vectoriels), on définit immédiatement les sous-objets de la catégorie (sous-ensembles, sous-groupes, sous-anneaux, sous-corps, sous-espaces vectoriels, etc...).
Pour ceux qui estiment que la structure d'espace affine est redondante avec celle d'espace vectoriel, nous pourrions nous contenter de décrire les variétés affines (ou sous-espaces affines) comme les translatés des sous-espaces vectoriels, c'est à dire les ensembles de la forme u+F où F est un sous-espace de E, E étant un espace vectoriel quelconque (au lecteur d'en tirer toutes les conclusions).
Ce n'est pas l'approche que nous utiliserons ici où nous adopterons une démarche plus progressive, plus pédagogique, nous permettant de voir les choses sous deux aspects différents et complémentaires.

Point de vue barycentrique

Un sous-ensemble non vide B d'un espace affine A est appelé une 'variété linéaire' (ou encore une 'variété affine' ou même une 'variété linéaire affine'), si chaque fois qu'il contient n points P1, P2, ... ,Pn il contient le barycentre de tout système pondéré ((P11), (P2, λ2), ... ,(Pnn)), quel que soit le jeu de coefficients (λ1, λ2, ,λn) pourvu que la somme λ1+ ... +λn soit non nulle.
Conséquence :
Si B est une variété linéaire d'un espace affine A associé à un espace vectoriel E, et si O est un point de B l'ensemble des vecteurs OM avec M ∈ B est un sous-espace de E.
En effet si M et O sont dans B alors si N est tel que ONOM N est alors le barycentre du système ((M,λ),(O,1-λ)) donc dans B.
En outre si M et N sont deux points de B, le vecteur OS=OM+ON est égal à deux fois le vecteur OG où G est le milieu de [MN] qui est donc dans B. Il résulte de ce qui précède que puisque G est un point de B, S est aussi un point de B.
La réciproque est vraie :
Si F est un sous-espace vectoriel de E et si P est un point quelconque de A, alors l'ensemble B des points de la forme P+uu ∈ F est une variété linéaire.
Soient en effet P1, ....,Pn n points de B. et soit G le barycentre du système ((P11) , ... , (Pnn)). On a alors
PG = ( 1 k = 1 n λ i ) k = 1 n λ i P P i
qui montre que G est un point de B par définition des sous-espaces vectoriels.

Point de vue des sous-espaces directeurs

Il résulte des remarques précédentes que :
Un sous-ensemble B d'un espace affine A associé à un espace vectoriel E, est une variété linéaire si et seulement si il existe un sous-espace vectoriel F de E tel que B=P+F= { P+u | u∈F}où P est un point quelconque de B. En outre F ne dépend pas de P.
Le seul point qui ne résulte pas directement du paragraphe précédent est la dernière affirmation.
Supposons donc que P+F=Q+F'. On en déduit aussitôt que PQ ∈ F et que PQ ∈ F' donc que F ⊆ F' et F' ⊆ F. On peut donc prendre alternativement cette propriété pour définition des variétés linéaires :
Le sous-espace F est appelé la 'direction' ou le 'sous-espace directeur' de B.
On voit ainsi que comme dans tous les cas de sous-objets définis précédemment :
Si B est une variété linéaire de sous-espace directeur F, alors B devient elle-même un espace affine ayant pour espace associé l'espace F considéré comme espace vectoriel.

Dimension d'une variété linéaire

Nous nous plaçons ici dans le cadre d'espaces affines ayant pour espaces vectoriels associés des espaces de dimension finie.
Si B est une variété linéaire de direction F, on appelle 'dimension' de B, la dimension de F.
Il en résulte que toutes les variétés linéaires d'un espace affine A associé à un espace vectoriel E de dimension finie n, sont de dimension ≤ n.
Par analogie avec les sous-espaces vectoriels on adopte la terminologie suivante :
Voici une appliquette vous permettant de visualiser des droites affines.
Vous pouvez faire varier le point P en le tirant-déplaçant à la souris.
Vous pouvez également faire varier le vecteur directeur de la droite vectorielle (de couleur bleue) en tirant-déplaçant son extrêmité.
La droite affine apparait en vert, la droite vectorielle (sous-espace directeur) apparaît en noir.

Hyperplans affines

Les hyperplans affines sont définis par analogie avec les hyperplans vectoriels :
Un 'hyperplan' affine est une variété linéaire dont le sous-espace directeur est un hyperplan vectoriel.
Ces variétés jouent un rôle particulier du point de vue de la définition analytique des variétés linéaires (équations cartésiennes), c'est pourquoi nous introduisons leur définition dès à présent.
L'appliquette ci-dessous vous permet de visualiser des plans affines dans l'espace affine ℝ3.
En appuyant sur le bouton 'Autre exemple' vous générez un plan vectoriel (jaune) et un plan affine (orange) passant par le point fixe P et admettant ce plan vectoriel pour espace directeur.

Demi-espaces associés à un hyperplan affine

Ce point ne concerne que les espaces affines réels.
Tout hyperplan affine H dans l'espace affine A partage A en 3 régions de la manière suivante.
Soit F le sous-espace directeur de H (donc un hyperplan vectoriel de E).
Soit v un vecteur quelconque n'appartenant pas à F de sorte que ℝv est un supplémentaire de F dans E.
Si O est un point de H et si M est point quelconque de A alors on a un unique λ ∈ ℝ tel que OM = λv+xx est un vecteur de l'hyperplan vectoriel F.
L'espace A est ainsi partagé en 3 régions : On peut se demander en quoi les deux dernières régions, appelées des 'demi-espaces' dépendent du vecteur v.
Supposons que w soit un autre vecteur satisfaisant aux mêmes hypothèses que v c'est à dire que w ∉ F.
Alors on peut écrire wv+x avec x ∈ F.
On voit maintenant que si α > 0 les deux demi-espaces déterminés par v et w coïncident, dans le cas contraire ces régions sont inversées.