Définition

Dans tout ce qui suit A1 et A2 représentent des espaces affines sur un même corps K.
f: A1 → A2 désigne une application de A1 dans A2.
On dit que f est une application 'affine' de A1 dans A2, si elle possède la propriété suivante:
Pour tout système pondéré S=((M11),(M22), ... ,(Mnn)) de points de A1 de masse totale non nulle, si G est le barycentre de S alors f(G)=G' est le barycentre du système pondéré S'=((M'11),(M'22), ... ,(M'nn)) où pour chaque indice i 1 ≤ i ≤ n M'i=f(Mi). Nous résumerons cette propriété en disant que f 'conserve les barycentres'.
Remarque: Le théorème d'associativité nous permet d'affirmer que pour que f soit affine il suffit qu'elle conserve les barycentres des systèmes de DEUX points. C'est à dire que :
f est affine si et seulement si quels que soient les points O, M1 et M2 de A1 et les scalaires α et β de somme non nulle, si G est défini par :
OG = α O A 1 + β O A 2 α + β
Alors on a également :
O'G' = α O' A' 1 + β O' A' 2 α + β
où pour tout point M de A1, M' désigne l'image f(M) de M par f.
Il résulte imédiatement de la définition que :
Si f est bijective et affine, sa bijection réciproque est également affine.
Dans le cas où A1=A2=A. Si f est affine et si l'application affine réciproque est égale à f on dit que f est 'involutive'.
Il résulte immédiatement de la définition que :
L'image d'une partie convexe par une application affine est une partie convexe.
L'image d'une variété linéaire B par une application affine est une variété linéaire B' de dimension au plus égale à celle de B.
La composée de deux applications affines est encore une application affine.

Exemples

Dans tout ce qui suit nous supposons que A1=A2=A, c'est à dire que l'espace de départ et l'espace d'arrivée sont confondus.
E désigne l'espace vectoriel associé à A.

Translations

Si w est un vecteur quelconque la translation de vecteur w est l'application M → M' où M' est défini par MM'=w.
Les translations sont des applications affines.
Pour une démonstration rigoureuse voir cet exercice.
Voici une application qui montre une translation de vecteur u en action sur un système de 2 points avec son barycentre.
Vous pouvez faire varier le vecteur de translation u en tirant son extrêmité.
Vous pouvez également déplacer les points A et B.
Vous pouvez aussi, avec les curseurs, faire varier les masses de A et B.

Homothéties

Si A est un espace affine quelconque, l'homothétie de centre O et de rapport α est ainsi définie.
A tout point M elle associe le point M' tel que OM' = α OM
Il résulte immédiatement de la définition que :
Les homothéties sont des applications affines.
Pour une démonstration rigoureuse voir cet exercice.
Elles sont bijectives quand α ≠ 0, la bijection réciproque étant l'homothétie de rapport 1/α
Quand α=1 on trouve l'application identique. Quand α =-1 l'homothétie s'appelle alors 'symétrie centrale', elle est involutive dans ce cas.
Voici une application qui montre une homothétie de centre O en action sur un système de 2 points avec son barycentre.
Vous pouvez faire varier le rapport de l'homothétie avec un curseur de -2 à +2.
Vous pouvez également déplacer les points A et B.
Vous pouvez aussi, avec les curseurs, faire varier les masses de A et B.

Projections

Dans toute la suite nous supposons que E est de dimension finie et que B1 et B2 sont deux variétés linéaires de A telles que leurs sous espaces directeurs E1 et E2 soit en somme directe, alors E=E1⊕E2.
Il résulte de nos hypothèses que toute variété de direction E1 et toute variété de direction E2, se coupent en un point et un seul.
La projection d'axe B1 parallèlement à B2 est définie ainsi :
Soit M un point de A et soit C2 la variété parallèle à B2 et passant par M. C2 coupe B1 en un point et un seul que nous notons M' et que nous appelons le projeté de M sur B1 parallèlement à B2.
L'application M → M' est affine.
Voici deux cas particuliers dans l'espace affine réel de dimension 3.
Projection sur un plan parallélement à une droite de vecteur directeur w

Projection sur une droite parallèlement à un plan de vecteurs directeurs u et v

Affinités

Soit cette fois α un scalaire quelconque et M un point d'un espace affine A. Soit H le projeté de M sur B1 parallèlement à B2 et soit M' le point tel que HM'HM.
L'application M → M' s'appelle l'affinité d'axe B1 parallèlement à B2.
Nous obtenons encore une application affine.
Affinité ayant pour axe une droite, parallèlement à un plan de vecteurs directeurs u et v et de rapport 1/2.

Affinité ayant pour axe un plan, parallèlement à une droite de vecteur directeur w et de rapport 1/2.
Remarque 1
Quand α=0 on retrouve les projections vues plus haut.
Remarque 2
Quand α=-1 on parle de symétrie d'axe B1 parallèlement à B2.
Les symétries sont évidemment des involutions.

Applications non affines

Pour un exemple d'application non affine, voir cet exercice.

Cas du plan affine réel

On a vu que ℝ2 s'identifie au corps ℂ des nombres complexes.
Un point M est ainsi identifié à son affixe complexe. Ainsi toute application f : M → M'=f(M) du plan dans lui-même (affine ou non) s'identifie à une application z'=f(z) de ℂ dans ℂ. On peut voir que les applications du type :
z → z'=az+b correspondent à des applications affines.
Pour une démonstration rigoureuse voir cet exercice.
Il en est de même de z → z, et donc par composition de toute application du type z'=az+b
Nous verrons un peu plus tard à quoi correspondent ces applications.