Nous avons déjà étudié certaines structures, comme : D'une façon générale, nous avons étudié les homomorphismes, comme applications concervant la structure, et parmi ceux-ci les plongements (homomorphismes injectifs, comme les plongements de ℤ dans ℚ, de ℝ dans ℂ, ainsi que les isomorphismes (homomorphismes bijectifs).
Nous allons définir ici les homomorphismes d'espaces affines. La structure d'espace affine est principalement définie par l'existence de barycentres pour les systèmes pondérés. Les homomorphismes seront donc définis de prime abord comme les applications 'conservant' ces barycentres, en un sens que nous préciserons.
Par la suite, nous utiliserons le fait que les espaces affines sont très proches des espaces vectoriels pour établir un lien entre les applications affines et les applications linéaires. Nous verrons à cette occasion un résultat fondamental disant que si on identifie les espaces affines et les espaces vectoriels par le choix d'une origine, les applications affines ne sont que les composées des applications linéaires avec des translations.
Pour finir nous verrons la traduction 'analytique' des définitions précédentes, en particulier nous verrons comment la théorie des matrices s'applique pour écrire les formules liant les coordonnées d'un point dans un repère aux coordonnées de son image dans un autre repère.
Nous verrons également que les points invariants jouent un rôle particulier pour l'étude des applications affines. A côté de la notion de 'point invariant' nous étudierons la notion voisine d'ensemble 'globalement invariant'.