Le groupe affine

Tout comme nous avons défini le groupe linéaire comme le groupe des automorphismes d'un espace vectoriel, nous définissons le 'groupe affine' d'un espace affine A comme le groupe des applications affines bijectives de A dans A, avec la loi de composition.
Le groupe affine de A sera noté G(A).
Voici quelques exemples d'éléments du groupe affine d'un espace affine : Et voici d'autres applications affines qui n'appartiennent pas en général au groupe affine : Voici une propriété caractéristique des applications affines en dimension finie :
Une application affine est bijective si et seulement si elle transforme toute variété linéaire en une variété linéaire de même dimension.

Cette propriété résulte immédiatement de la propriété analogue pour les applications linéaires.
Si B est une variété linéaire d'espace directeur V et si f est une application affine, alors f(B) a pour sous-espace directeur u(V) où u est l'application linéaire associée à f.

Sous-groupes de G(A)

Les deux affirmations suivantes se vérifient instantanément :
D'une façon générale l'application qui à un isomorphisme f associe son application linéaire associée est un homorphisme de G(A) dans le groupe linéaire G(E).
Examinons maintenant le cas particulier des homothéties (cas réel).
Nous savons qu'une homothétie affine a pour application linéaire associée une homothétie vectorielle.
Nous allons maintenant voir que la réciproque est vraie :
Une application affine f ayant pour application linéaire associée une homothétie vectorielle u de rapport α ≠ 1 est nécessairement une homothétie affine.

Soit donc f une telle application, pour montrer que f est une homothétie affine il suffit de montrer que f possède un point fixe.
Etudions d'abord le cas de la dimension 1, A est donc une droite D. Si f est affine et a pour application linéaire associée une homothétie vectorielle de rapport α alors f est composée d'une homothétie affine de rapport α avec une translation. Soit (O,u) un repère de D. Tout point M est caractérisée par son abscisse x et l'application f transforme donc un point M d'abscisse x en un point M' d'abscisse x'=αx+β. Il s'en suite que le point d'abscisse β/(1-α) est fixe.
On suppose qu'on est maintenant en dimension égale au moins à 2.
Soit toutes les droites sont globalement invariantes soit elles ne le sont pas. Si toutes les droites sont globalement invariantes, prendre deux droites distinctes et soit Ω leur point d'intersection, alors Ω est forcément fixe.
Dans le cas contraire soient M et N deux points distincts d'une droite non globalement invariante et M',N' leurs images. On a donc M'N' = α MN, les 4 points M,M',N et N' sont coplanaires et la droite (M'N') est distincte de la droite (MN) les deux droites (MM') et (NN') sont donc concourantes en un point qui est forcément fixe pour f.
De là nous pouvons tirer :
Considérons l'ensemble formé de la réunion des translations avec toutes les homothéties de A, alors cet ensemble est un sous-groupe du groupe affine.

En effet soit f et g deux éléments de cet ensemble et soient u et v leurs applications linéaires associées, qui sont des homothéties vectorielles de rapport α et β soit le produit α.β=1 auquel cas gof est une translation dans le cas contraire c'est une homothétie affine. Ceci résulte imédiatement de la démonstration précédente.