Application linéaire associée à une application affine

Dans tout ce qui suit A1 et A2 désignent des espaces affines sur un même corps K, ayant pour espaces vectoriels associés respectivement E1 et E2.
f désigne une application f: A1 → A2
Pour tout point M de A1 on désigne par M' l'image f(M) de M par f.
Nous avons vu que le choix d'une origine dans un espace affine permet l'identification de cet espace avec l'espace vectoriel associé.
Ainsi si nous prenons un point quelconque O ∈ A1, et si O' est son image par f, nous avons une identification de A1 à E1 liée au choix de O et une identification de A2 à E2 liée au choix de O'.
Cela fait, l'application f s'identifie à une application u : E1 → E2 d'un espace vectoriel dans un autre, le lien étant :
O'M'=f(O)f(M)= u(OM). Dans ces conditions et avec ces notations, nous avons le résultat fondamental suivant :
f affine ⇔ u linéaire

La démonstration est assez simple.
Pour l'additivité, il nous faut montrer que u(OM+ON)=u(OM)+u(ON) si f est affine.
Soit donc le point S tel que OS=OM+ON
On a alors OS-OM-ON=0
Ce qui prouve que O est le barycentre du système ((S,1),(M,-1),(N,-1))
Si f est affine il en résulte que O' est le barycentre du système ((S',1),(M',-1),(N',-1))
On a donc O'S'=O'M'+O'N' qui nous donne bien u(OS)=u(OM)+u(ON).
Il faut également vérifier que u(αOM)=αu(OM).
Si α=1 il n'y a rien à démontrer.
Dans le cas contraire introduisons N tel que αOM=ON.
Il faut montrer que u(ON)=αu(OM)
Mais O est barycentre de ((M,α),(N,-1)), donc si f est affine O' est barycentre de ((M',α),(N',-1)), ce qui nous donne exactement la relation cherchée.
Nous venons donc de voir que f affine ⇒ u linéaire.
La réciproque se démontre exactement de la même façon pour peu qu'on utilise la caractérisation des applications affines comme étant les applications qui conservent les barycebntres des systèmes de DEUX points (conséquence du théorème d'associativité des barycentres) et que nous avons rappelé dans le paragraphe consacré à la définition barycentrique des applications affines.
Dans le cas où f est affine on pourrait croire que l'application linéaire u est liée au choix de O, de fait il n'en est rien.
Pour que f soit affine il faut et il suffit qu'il existe une application linéaire u: E1 → E2 telle que : f(M)f(N)=M'N'=u(MN) pour tout couple de points M,N de A1.
u est alors l'application linéaire dite 'associée' à f.

Supposons f affine et montrons que u ne dépend pas de O.
Soient donc O et Ω deux points de A1
Soit u l'application linéaire définie par u(OM)=O'M' et v par v(ΩM)=Ω'M'.
Il s'agit de démontrer que u=v, donc que u(OM)=v(OM) pour tout point M de E1.
On a v(OM)=v()+v(ΩM)=-v(ΩO)+Ω'M' =-Ω'O'+Ω'M'
=O'M'=u(OM).

Exemples

Vous pouvez si besoin est et pour comprendre ces exemples revoir les exemples classiques d'applications linéaires .

Caractérisation d'une application affine

Il résulte de ce qui précède que :
Si M0,M1, ... ,Mn sont n+1 points affinements indépendants de A1, et si N0,N1, ... ,Nn sont n+1 points quelconques de A2, alors il existe une et une seule application affine f: A1 → A2 telle que f(Mi)=Ni ∀ i 1 ≤ i ≤ n
La preuve résulte simplement des résultats de cette page concernant les applications linéaires.

Lien avec la composition

Le théorème suivant se démontre instantanément :
Si f est une application affine de A1 dans A2, u son application linéaire associée, si g est une application affine de A2 dans A3 et v son application linéaire associée, alors l'application linéaire associée à l'application gof : A1 → A3 est l'application linéaire vou : E1 → E3.
Il en résulte immédiatemant et compte tenu du fait que l'application associée à toute translation est l'application identique que :
Si l'on compose une application affine avec une translation, l'application linéaire associée est inchangée.
Nous voyons maintenant la réciproque de ce théorème :
Si f et g sont deux applications affines de A dans A ayant la même application linéaire associée u alors g=tof où t est une translation de A.

Soit en effet O un point quelconque de A.
Pour tout point M de A on désigne par M' l'image de M par f et par M" l'image de M par g.
On a donc d'après notre hypothèse O'M'=O"M".
Ce qui équivaut à M'M"=O'O".
Mais on remarquera que le vecteur O'O" est un vecteur fixe.
Il en résulte que g est la composée de f avec la translation définie par ce vecteur fixe.
De là nous déduisons :
  1. Que les seules applications affines ayant l'application identique pour application linéaire associée sont les translations.
  2. Que les applications affines ayant pour application linéaire associée une homothétie vectorielle sont les homothéties affines, les translations et les composées de ces applications, et que les composées de ces applications sont encore du même type puisque la composée de deux homothéties vectorielles est encore une homothétie vectorielle, nous verrons cela plus en détail dans une nouvelle page.