Matrices d'une application affine
Dans tout ce qui suit A1 et A2 sont deux espaces affines de dimensions finies respectivement n et m sur un même corps.
f est une application affine de A1 dans A2.
E1 et E2 désignent les espaces vectoriels associés à A1 et A2 respectivement.
R1=(O1,B1) désigne un repère de A1, et R2=(O2,B2) un repère de A2.

Représentation analytique d'une application affine

Tout point M de A1 a donc des coordonnées (x1,x2, ... ,xn) dans le repère R1.
Tout point M' de A2 a des coordonnées (x'1,x'2, ..., x'm) dans le repère R2.
Nous appelons détermination analytique de f les m équations :
x'i=fi(x1,x2 .., xn) pour 1 ≤ i ≤ m permettant le calcul des x'i 1 ≤ i ≤ m en fonction des xj 1 ≤ j ≤ n
Nous allons voir immédiatement que ces fonctions fi ont une forme relativement simple :
Ce sont des polynômes du premier degré en les variables xj et cette propriété caractérise les applications affines.

Forme matricielle

Supposons que O2=f(O1)=O1'.
Alors si u désigne l'application linéaire associée à f de E1 dans E2,on a O2M'=u( O1M), par définition même de l'application linéaire associée à une application affine.
Il en résulte, avec les notations précédentes, que si U désigne la matrice de u par rapport aux bases B1 et B2, et si
X = x 1 x 2 x n et X ' = x ' 1 x ' 2 x ' m
On a X'=UX
Lorsqu'on explicite l'écriture ci-dessus il en résulte des formules du type :
x ' i = f i ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = j = 1 n a i , j x j
où les ai,j sont les coefficients de la matrice U.
Ce qui fait que quand O2 n'est pas égal à O1 les formules sont les mêmes à une constante près puisque on change le repère (O'1,B2) en le repère (O2,B2).
Les formules deviennent donc dans le cas général :
x ' i = f i ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = j = 1 n a i , j x j + b i
Ce qui est exactement le résultat annoncé, et la réciproque est non moins évidente.
Les fonctions affines sont donc bien la généralisation des fonctions 'affines' du type f(x)=ax+b, de ℝ dans ℝ de nos jeunes années.

Exemples

Translations

Les formules associées à une translation sont, bien sûr :
x'i=xi+bi

Homothéties

Prenons le cas d'une homothétie centrale de rapport k et ce centre O en dimension n.
Si (o1,o2, ... on) sont les coordonnées de O les formules seront, quelle que soit la base du repère :
x'i-oi=k(xi-oi)
Soit encore :
x'i=kxi+(1-k)oi

Projections

Considérons par exemple dans l'espace ℝ3 une projection sur un plan P de vecteurs directeurs u,v parallèlement à une droite D de vecteur directeur w.
Si nous prenons un repère R ayant pour origine le point O d'intersection de P et D et pour base B=(u,v,w), la détermination analytique de la projection sur P parallèlement à D sera :
x'=x
y'=y
z'=0

Affinités

Considérons par exemple dans l'espace ℝ3 une affinité ayant pour axe un plan P de vecteurs directeurs u,v parallèlement à une droite D de vecteur directeur w et pour rapport k.
Si nous prenons un repère R ayant pour origine le point O d'intersection de P et D et pour base B=(u,v,w), la détermination analytique de cette affinité sera :
x'=x
y'=y
z'=kz

Café python

Voici un programme qui définit un objet python représentant une application affine de Kn dans Km donnée par un système d'équations.
Ce module utilise lui-même le module 'reperes.py' :