Il s'agit la d'un sujet très ancien puisque qu'ayant déjà interessé Ménechme et Appollonius dans l'antiquité.
L'exposition de ce thème faisait partie de l'enseignement secondaire traditionnel en sciences (mathématiques élémentaires) jusqu'à la fin des années 1960.
On ne trouve plus, hélas, aujourd'hui (en 2011) en France, que quelques traces de ce sujet en enseignement de spécialité mathématiques de la classe de terminale S sous le titre très vague de "Sections de cônes et cylindres illimités d’axes (Oz) par des plans parallèles aux plans de coordonnées".
L'étude des coniques a pourtant un intérêt pédagogique indiscutable.
On peut en effet les présenter comme des courbes 'algébriques' (dont les points sont solutions d'équations polynomiales) ou comme des courbes paramétrées pour une introduction à la géométrie différentielle.
Les coniques interviennent en astronomie et en mécanique puisque ce sont les trajectoires des planètes, et des satellites naturels ou artificiels.
Les coniques interviennent comme solutions d'équations différentielles par application des lois de la gravité. Les physiciens font donc un usage constant de ces objets mathématiques.
Nous essayons de confronter les différents points de vue pour la présentation des coniques :
  1. Le point de vue historique (sections de cônes)
  2. Le point de vue algébrique (courbes du second degré)
  3. Le point de vue 'lieux géométriques' (définitions 'bifocale' et par 'foyer et directrice')
  4. Le point de vue 'différentiel' fonctions différentiables d'une variable réelle à valeurs dans le plan.
et de montrer que toutes les approches sont d'une certaine façon 'équivalentes'.
Ce souci est particulièrement perceptible pour l'introduction des tangentes.
Le cadre idéal de la présentation des coniques est la géométrie projective qui est une théorie 'unifiante', mais ce n'est pas le point de vue que nous avons adopté ici, laissant ce sujet pour plus tard. Les coniques sont donc étudiées strictement du point de vue affine euclidien.
Le sujet se prête bien à l'utilisation des nouvelles techniques de 'géométrie dynamique' incarnées par des logiciels tels que l'excellent 'GeoGebra'. Nous trouverons donc un grand nombre d'appliquettes java générées avec ce logiciel.
Nous avons également développé notre propre technique pour la visualisation dynamique des figures en 3D. Le résultat est intéressant pour le point de vue historique des sections coniques.