Dans la page précédente, nous caractérisons les coniques comme des 'sections de cône' par des plans.
Il existe de nombreuses autres façons de caractériser les coniques.
En voici une autre.

Définitions

Dans le plan euclidien une 'courbe algébrique de degré 2' est un ensemble de points M(x,y) caractérisés, dans un repère orthonormé par une équation cartésienne de type P(x,y)=0 où P est un polynôme du second degré en x, y c'est à dire :
P(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
Où A,B,C,D,E,F sont des constantes réelles et où les trois coefficients A,B,C ne sont pas tous les trois nuls ensemble.

Exemples

Voici un autre exemple important :
Toute conique 'historique' (définie comme section plane d'un cône) est une courbe algébrique du second degré.

En effet un cône, dans un repère centré sur son sommet et ayant Oz pour axe, a une équation du type :
x2+y2-kz2=0 avec k réel >0.
Plaçons nous dans un repère orthonormé (u,v,w) où (u,v) est un système de deux vecteurs directeurs du plan, l'origine Ω étant un point du plan.
Les formules de changement de repère étant linéaires (du premier degré), l'équation du cône dans le nouveau repère est une équation du second degré en x,y,z.
Dans ce nouveau repère, le plan a pour équation z=0.
L'équation de la conique (intersection) s'obtient donc en faisant z=0 dans une expression du second degré en x,y,z, d'où notre affirmation.
La famille des courbes algébriques de degré deux semble donc englober la famille des coniques telles que définies dans cette page.

Remarques

Tout d'abord la définition de dépend pas du repère orthonormé choisi, c'est à dire que :
Si R et R' sont deux repères orthonormés du plan et si P est un polynôme du second degré les points caractérisés par P(x,y)=0 dans le repère R sont également caractérisés par une équation P'(x,y)=0 dans le repère R' où P' est un autre polynôme du second degré.
En effet c'est parce que les formules de changement de repère sont linéaires (des polynômes du premier degré du type ax+by+c), et que des substitutions linéaires du premier degré dans une expression algébrique du second degré conduit à une nouvelle expression algébrique du second degré.
Examinons maintenant les 'cas de dégénérescence' (analogues à la section d'un cône par un plan).
On dit que le polynôme P en les variables x et y est 'factorisable' s'il peut être écrit sous la forme
P(x,y)=P1(x,y)P2(x,y)
où P1 et P2 sont des expressions algébriques du premier degré.
Dans le cas contraire il est dit 'irréductible'.
L'équation d'une courbe algébrique du second degré, définie par un polynôme factorisable prend la forme particulière :
P1(x,y)P2(x,y)=0
Dans ce cas, l'ensemble est alors la réunion des deux droites d'équations
P1(x,y)=0
P2(x,y)=0
Ces deux droites pouvant être éventuellement confondues si P1=kP2.
Nous éliminerons donc ces cas de dégénérescence pour nous consacrer exclusivement au cas où P est irréductible, correspondant à ce que nous appelerons des courbes algébriques du second degré 'propres', qui ne sont donc pas des réunions de variétés linéaires.
Le cercle et la parabole, les sections coniques en général donnés en exemple plus haut, correspondent à ce cas.

Equations réduites

Cela dit le polynôme P peut s'écrire sous la forme
P(x,y)=Q(x,y)+R(x,y)
où Q est 'homogène' de degré 2 et où R est du premier degré, soit :
Q(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2
R(x,y)=Dx+Ey+F
Le résultat suivant est fondamental :
Par un changement de repère (orthonormé) le polynôme Q peut être réduit à une 'somme de carrés', c'est à dire qu'on peut faire disparaître le terme en xy pour ne conserver que des termes en x2 et y2.

Soit O l'origine du repère initial Si le point M(x,y) est le transformé de M'(x',y') dans une rotation de centre O et d'angle θ, on a :
{ x = cos ( θ ) x ' sin ( θ ) y ' y = sin ( θ ) x ' + cos ( θ ) y '
Si M(x,y) satisfait l'équation Ax2+Bxy+Cy2=0 alors par substitution le coefficient de x'y' est :
B(cos2(θ)-sin2(θ))+(C-A)2sin(θ)cos(θ).
Soit encore Bcos(2θ)+(C-A)sin(2θ).
De sorte que pour annuler ce coefficient il suffit de prendre :
θ=π/4 si C=A
θ=(1/2)arctan(B/(A-C)) si A≠C.
On voit donc qu'on peut toujours faire tourner le repère d'un angle θ convenablement choisi pour que le terme en xy disparaisse.
On ne perd donc aucune généralité en supposant que la courbe a une équation du type :
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0.
Ce que nous supposerons désormais.
Dans une telle équation on dit qu'une variable est 'dominée' si elle apparaît à la puissance 2.
Pour toute variable ainsi dominée il est possible, par une simple translation, de faire disparaître la puissance 1.

En effet, supposons x dominée, alors on peut écrire l'équation :
x 2 + D A x + C A y 2 + E A y + F A = 0
Soit encore :
( x + D 2 A ) 2 + C A y 2 + E A y + 4 AF D 2 4 A 2 = 0
On voit donc que par une simple translation d'un vecteur de direction x'Ox la variable x est 'absorbée'.
Une courbe algébrique du second degré quelconque, relativement à un repère orthonormé bien choisi, a une équation qui prend l'une des formes suivantes, dites formes 'réduites' : où a,b et p sont des constantes toutes strictement positives.

Donc si les deux variables sont dominées l'équation peut être écrite dans un repère orthonormé convenable.
Ax2+By2=K où A,B et K sont des constantes.
On peut supposer en outre que K ≠0 car si K=0 soit A et B sont de même signe et la courbe se réduit à un point, soit A et B sont de signe contraire et le polynôme est factorisable.
Donc, quitte à diviser les deux membres par K on peut supposer que l'équation a une forme :
Ax2+By2=1
Si A et B sont de même signe ils sont nécessairement tous deux positifs. En posant alors
a = 1 A et
b = 1 B
L'équation prend la forme :
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
Supposons maintenant que A et B soient de signes contraires.
Sachant qu'une symétrie par rapport à la première diagonale (y=x) échange x et y, on peut supposer, sans perte de généralité que A > 0 et B < 0.
En raisonnant comme ci-dessus l'équation devient :
x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1
Il reste à étudier le cas où aucune des deux variables n'est dominée, et le cas où seulement une des deux variables est dominée.
Si aucune des deux variables n'est dominée c'est qu'elle apparaissent toutes les deux à la puissance 1 seulement, mais c'est impossible car nous avons une équation du second degré.
Il ne reste donc plus qu'à étudier le cas où seule une des deux variables est dominée et pas l'autre.
Comme une symétrie par rapport à la première diagonale (y=x) échange les deux variables on peut, sans perte de généralité, supposer que c'est la première soit x.
L'équation est donc Ax2+Dx+Ey+F=0
On peut comme précédemment par une translation absorber x pour obtenir :
Ax2+Ey+F=0
A nouveau par une translation de direction y'Oy on peut absorber la constante :
Ax2+E(y+F/E)=0
Donc quitte à renommer les constantes, on peut supposer que l'équation est Ax2+Ey=0
avec forcément A et E tous deux non nuls.
L'équation peut donc être réécrite
y = A E x 2
soit en posant -E/A=2p
2py=x2
Enfin, puisqu'une réflexion d'axe x'Ox change y en -y on peut supposer que le coefficient p est positif.

Il résulte immédiatemment de ces définitions que :
Il résulte des études faites sur les paraboles 'historiques' et cet exercice. que ce sont des courbes de type P.
Il résulte des études faites sur les ellipses 'historiques' et cet exercice. que ce sont des courbes de type E.
Il résulte des études faites sur les hyperboles 'historiques' et cet exercice. que ce sont des courbes de type H.
Nous nous fixons, entre autres, pour but d'établir que les paraboles 'historiques' coïncident exactement avec les courbes de type P, c'est à dire qu'elles recouvrent tous les cas possibles.
Nous ferons la même chose pour les ellipses et les hyperboles. Cela fait les définitions 'historiques' et 'algébriques' seront parfaitement équivalentes.

Une particularité des courbes de type H (hyperboles 'algébriques')

Une telle courbe d'équation cartésienne
x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1
Peut être vue comme la réunion des graphes de deux fonctions numériques opposées :
f ( x ) = b 2 a 2 x 2 b 2
g ( x ) = b 2 a 2 x 2 b 2
On vérifie immédiatement que :
lim x + f ( x ) x = b a
lim x - f ( x ) x = -b a
lim x + g ( x ) x = -b a
lim x - g ( x ) x = b a
ce qui prouve que y=(b/a)x et y=-(b/a)x sont des directions asymptotiques pour la courbe quand x tend vers +/- ∞.
Par ailleurs nous avons :
f ( x ) = b 2 b 2 a 2 x 2 b 2 + b 2 a 2 x 2
qui prouve que :
lim x + ( f ( x ) b a x ) = 0
On trouve de la même façon des limites nulles pour f et g et pour x tendant vers +∞ et vers -∞.
Ce qui prouve que :
Les deux droites
y = b a x
et
y = b a x
sont deux asymptotes à la courbe.

Equation de l'hyperbole relativement à ses asymptotes (repère NON orthonormé en général).

Le changement de repère
{ x ' = x a y b y ' = x a + y b
Donne pour la courbe, relativement à ses asymptotes l'équation x'y'=1.

Hyperboles 'équilatères'

Nous cherchons à quelles conditions le repère formé par les asymptotes est orthogonal.
Il faut et il suffit pour cela que le produit des coefficients directeurs des deux asymptotes soit égal à -1.
Ce qui nous donne
a b × a b = 1
et équivaut à : a b × a b = 1
donc à a=b.
Une courbe de type H, avec a=b sera appelée 'hyperbole équilatère'.

Figures interactives

Type E

Vous pouvez faire varier les paramètres a et b avec les curseurs.
L'ellipse algébrique de demi-axes a et b est représentée en bleu.

Type H

Vous pouvez faire varier les paramètres a et b avec les curseurs.
L'hyperbole algébrique correspondante est représentée en bleu.
Les asymptotes sont tracées en rouge.
Observez les hyperboles 'équilatères' correspondant aux cas a=b.

Type P

Vous pouvez faire varier le paramètre p avec le curseur.
La parabole y=(1/2p)x² est représentée en bleu.

Café Python

Le lecteur pourra démontrer, à titre d'exercice, la validité du tableau décisionnel ci-dessous :
Discussion de l'équation Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0
AC ≠0
N=D2/4A+E2/4C-F
N>0
A>0,C>0
ellipse
A<0,C<0

AC<0
hyperbole
N=0
AC>0
point
AC<0
couple de droites sécantes
N<0
A>0,C>0

A<0,C<0
ellipse
AC<0
hyperbole
AC=0
A=0,C≠0
D≠0
parabole
D=0
couple de droites parallèles, confondues si E2/4-FC=0
A≠0,C=0
E≠0
parabole
E=0
couple de droites parallèles, confondues si D2/4-FA=0
A=0,C=0
(D,E)≠(0,0)
droite
(D,E)=(0,0)
plan entier si F=0, ∅ si F≠0
Le programme suivant, fondé sur l'analyse précédente, effectue une première réduction des équations des coniques.
Il détermine ensuite le type de la conique.
On peut le perfectionner pour calculer les éléments caractéristiques (origine du nouveau repère, demi-axes, paramètre, asymptotes).
Voir par exemple cet exercice.