Coordonnées polaires

Nous avons déjà rencontré les coordonnées polaires.
Tout point M(x,y) du plan euclidien non égal à l'origine, peut être caractérisé par : De sorte que si
u = OM OM
on a
u = cos ( θ ) i + sin ( θ ) j
Les formules de changement de repère sont donc dans un sens : et dans l'autre sens :

Equation polaire d'une courbe

On appelle 'équation polaire' d'une courbe un paramétrage de la courbe par l'angle θ où la quantité positive ρ est donnée par une fonction φ de θ.
ρ=φ(θ)

Exemple

Le cercle de centre O et rayon R a comme équation polaire ρ=R Nous allons maintenant montrer que les conqiues ont des équations polaires particulièrement simples quand on prend comme origine un foyer.

Equations polaires des coniques

Revenons sur la définition des coniques par foyer et directrice.
On a donc en prenant pour origine un foyer, pour tout point M(x,y) de la conique de paramètre p et d'excentricité e
x 2 + y 2 = e 2 ( d x ) 2
où d est la distance entre un foyer et sa directrice.
Comme d=p/e
ρ = e ( p e ρ co ( θ ) )
Soit encore :
ρ = φ ( θ ) = p 1 + e cos ( θ )

Visualisation

L'applet suivante vous permet de faire varier p et e avec les curseurs.
Vous pouvez également faire varier le point M sur la conique.
Excentricité : Paramètre p :