Nous avons vu ici que dans les points de la parabole peuvent être caractérisés par une propriété métrique mettant en jeu un point et une droite.
En clair la parabole peut être considérée comme l'ensemble des points équidistants d'une droite et d'un point.
Nous cherchons maintenant une propriété analogue pour les autres sections coniques.

Une autre propriété des sections coniques (non circulaires).

Considérons le cas où la section conique (conique 'historique' donc) est soit une ellipse non circulaire, soit une hyperbole. Le premier curseur vous permet de déplacer M sur la conique.
Avec la souris vous pouvez faire varier l'angle de vue de la figure.
Le second curseur vous permet de faire varier l'angle θ du cône .
Nous faisons une figure correspondant au cas de l'ellipse, la démonstration est tout à fait analogue pour l'hyperbole.
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Les coniques apparaissent donc comme des ensembles de points caractérisés par le fait que le rapport de leur distance à un point (foyer) à leur distance à une droite (directrice) est constant.
Cela s'applique en particulier aux paraboles pour lesquelles ce rapport vaut exactement 1.

Lien avec les coniques 'algébriques' (courbes du second degré).

Le résultat principal est le suivant :
Le lieu des points du plan dont le rapport des distances à un point F et à une droite Δ distante de d >0 de F, vaut un constante e ∈ ℝ+ est une conique algébrique.
On appelle Δ la 'directrice', F le 'foyer', et e "l'excentricité" de la conique.
Si e ≠ 1, F est l'un des foyers au sens de la page précédente.
Le nombre p=ed s'appelle le 'paramètre' de la conique.


Dans un repère orthonormé où les coordonnées de F sont (d,0), et l'équation de Δ est x=0, le point M de coordonnées (x,y) appartient au lieu si et seulement si :
( x d ) 2 + y 2 = e 2 x 2
C'est à dire :
( 1 e 2 ) x 2 + y 2 2 dx = d 2
Soit
x 2 ( 1 e 2 ) 2 p e x + y 2 = p 2 e 2
Soit encore
( 1 e 2 ) ( x 2 2 p e ( 1 e 2 ) x + y 2 1 e 2 ) = p 2 e 2
ou bien
( x p e ( 1 e 2 ) ) 2 + y 2 1 e 2 = p 2 e 2 e 2 ( 1 e 2 ) 2 = p 2 ( 1 e 2 ) 2

Cas 0 < e < 1

Dans ce cas il vient :
( x p / e 1 e 2 ) 2 ( p 1 e 2 ) 2 + y 2 ( p 1 e 2 ) 2 = 1
C'est donc l'ellipse de centre ( p / e 1 e 2 , 0 ) , d'axes principaux parallèles aux axes du repère et de demi-diamètres
{ a = p 1 e 2 b = p 1 e 2 < a
Le second foyer est F'(q,0), avec :
q = 2 p / e 1 e 2 p / e = ( 1 + e 2 1 e 2 ) p / e
Il est donc "à droite" de F.
On a
c = a 2 b 2 = ep 1 e 2
Donc
e = c a

Cas e = 1

Il vient :
y 2 = 2 p ( x p 2 )
C'est donc la parabole d'axe D=F+Δ, de sommet O(p/2,0) et de paramètre p.

Cas e > 1

Il vient :
( x p / e 1 e 2 ) 2 ( p 1 e 2 ) 2 y 2 ( p 1 e 2 ) 2 = 1
C'est donc l'hyperbole de centre ( p / e 1 e 2 , 0 ) (toujours à gauche de la directrice) d'axes principaux parallèles aux axes, et de demi-diamètres :
{ a = p e 2 1 b = p e 2 1
Dans ce cas
c = a 2 + c 2 = p e 2 1 1 + e 2 1 = ep e 2 1
Donc e=c/a.
Le second foyer est (q,0) avec
q = 2 p / e 1 e 2 p / e = ( 1 + e 2 1 e 2 ) p / e
Il est donc "à gauche" de la directrice et du centre.
Les calculs faits précédemment permettent d'affirmer que :
La définition par foyer et directrice donne bien toutes les ellipses (sauf le cercle), toutes les paraboles, et toutes les hyperboles.

Pour les paraboles c'est évident.
Dans les autres cas, il suffit en effet de reconstituer e et p à partir de a et b.
e s'obtient toujours par la formule e=c/a.
On a toujours de plus
p=a(1-e²)

Cette définition laisse donc échapper les cercles, tout comme la définition 'bifocale' laissait échapper les paraboles.
Nous conviendrons cependant d'attribuer aux cercles l'excentricité nulle.
Les cercles auront donc un foyer (le centre) une excentricité, mais pas de directrice.
Avec cette convention :
Ceci est évident sur la définition par foyer et directrice et par la définition des similitudes.

Coniques 'historiques' (sections de cônes) vs coniques 'algébriques' (courbes du second degré).

Le temps est maintenant venu d'unifier toutes nos définitions et de montrer que les coniques définies historiquement à la mode d'Appollonius de Perge sont exactement les coniques (apparemment plus générales) définies par des équations du second degré.
Il suffit d'après ce qui précède de montrer que :
Une conique d'excentricité quelconque peut être obtenue comme intersection d'un cône droit et d'un plan.

On peut d'entrée éliminer le cas des cercles qui sont les sections par des plans orthogonaux à l'axe du cône.
Les cônes droits étant des cônes de révolution on peut supposer qu'un tel cône C dans un repère bien choisi a une équation du type :
α 2 z 2 = x 2 + y 2
Sans aucune perte de généralité on peut supposer que les plans sécants P sont parallèles à Ox et donc d'équation :
βz = y + γ
Posant alors u = 1 0 0 v = 0 β δ 1 δ w = 0 1 δ β δ δ = 1 + β 2
On vérifie que (u,v,w) est une base orthonormée et que (u,v) est une base du plan vectoriel P directeur de P.
Les formules de changement de repère de (i,j,k) repère initial à (u,v,w) sont donc :
{ x = X y = βY Z δ z = Y + βZ δ
où (x,y,z) sont les coordonnées dans (i,j,k) et X,Y,Z les coordonnées dans (u,v,w).
Les équations de P et de C dans le repère (O,u,v,w) s'écrivent donc en posant ε = γ δ :
Z= ε
δ 2 X 2 + ( β 2 α 2 ) Y 2 2 β ( 1 + α 2 ) YZ + ( 1 α 2 β 2 ) Z 2 = 0
Et la courbe intersection de P et C a donc pour équation dans P :
δ 2 X 2 + ( β 2 α 2 ) Y 2 2 βε ( 1 + α 2 ) Y + ( 1 α 2 β 2 ) ε 2 = 0
L'excentricité de la conique vaut
e = ( 1 + α 2 1 + β 2 )
En faisant varier β on obtient donc toutes les coniques d'excentricité e avec 0 ≤ e ≤ 1 + α 2 .
En faisant varier α on les obtient toutes.
En conséquence, à partir de maintenant et pour toutes la suite de l'exposé, en cas de non dégénérescence, nous ne ferons plus aucune distinction entre coniques 'historiques' (sections de cônes de révolution par des plans) et coniques 'algébriques' (courbes du second degré).
En outre nous utiliserons parfois pour les coniques qui ne sont pas des paraboles des définitions 'bifocales' et pour toutes celles qui ne sont pas des cercles, des définitions par 'foyer et directrice'.

Sommets

Pour les coniques à centre (excepté les cercles), "l'axe principal" désigne la droite (FF') où F et F' sont les deux foyers. Pour une parabole, c'est l'unique axe de symétrie.
On appelle 'sommets' d'une conique (qui n'est pas un cercle) tout point d'intersection de l'axe principal avec la conique.
Pour les ellipses et les hyperboles il y a donc deux sommets S(a,0) et S'(-a,0).

Equations des coniques rapportées au sommet

Dans un repère centré sur le sommet S(a,0) pour les coniques à centre et pour l'unique sommet pour les paraboles d'axe y'Oy, l'équation des coniques prend la forme générale :
y 2 = 2 px ( 1 e 2 ) x 2
où p est le paramètre et e l'excentricité de la conique.
La preuve est purement calculatoire, il suffit de faire un changement de repère par translation d'un vecteur directeur de l'axe Ox, et d'utiliser les relations liant les quantités a et b d'une part et e d'autre part.
L'applet suivante vous permet de faire varier les paramètes p et e et de voir la tracé de la conique correspondante.
Observez bien la variation en fonction de e à p fixé. Partant de e=0, on voit un cercle qui se déforme progressivement en ellipse de plus en plus allongée, puis en parabole pour e=1, puis en hyperbole ensuite, la seconde branche venant se rappocher de la première quand e croît.
Excentricité : Paramètre p :

Interprétation graphique du paramètre d'une conique

Un calcul rapide montre que dans le cas des coniques à centre on a toujours
p = b 2 a
Il en résulte que dans tous les cas de figure (parabole compris)
2p est la longueur d'une corde passant par un foyer et orthogonale à l'axe focal.

Cas de la parabole

L'applet suivante trace la parabole 2py=x² et montre la longueur AB=2p.
Vous voyez également le foyer et la directrice.
Vous pouvez faire varier le paramètre p avec le curseur.

Cas de l'ellipse

L'applet suivante trace l'ellipse x²/a²+y²/b²=1 montre la longueur AB=2p.
Vous pouvez faire varier a et b avec les curseurs.

Cas de l'hyperbole

L'applet suivante trace l'hyperbole x²/a²-y²/b²=1 montre la longueur AB=2p.
Vous pouvez faire varier a et b avec les curseurs.

Petit mémo

Les images sont générées avec GeoGebra.
d est la distance de l'origine à la directrice.

Ellipse

Hyperbole

{ c = a 2 b 2 e = c a p = b 2 a d = a 2 c { c = a 2 + b 2 p = b 2 a e = c a d = a 2 c A 1 : y = b a x A 2 : y = b a x