Définition bifocale des ellipses 'algébriques'

Nous appelons ici ellipses 'algébriques' ce que nous avons appelé 'courbes de type E' dans la classification de la page précédente, issue de la réduction des équations.
Il s'agit donc des courbes d'équation
x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
où a et b sont des réels positifs.
Les paramètres a et b s'appellent les 'demi-axes', quitte à échanger x et y (réflexion par rapport à la droite x=y) on peut supposer sans restriction de généralité que a ≥ b.
Nous revenons sur une propriété des ellipses 'historiques' (définies comme sections de cône). Cette propriété étant que les points de l'ellipse sont caractérisés par MF+MF'=2a où F et F' sont deux points distants de 2c, non nécessairement distincts (revoir par exemple ce paragraphe).
Nous avons vu que cette propriété entrainait en particulier que toute ellipse 'historique' était une ellipse 'algébrique'.
Nous étudions maintenant systématiquement les ensembles définis par une telle relation métrique pour voir que ces ensembles coïncident exactement avec les ellipses 'algébriques'.
Les cas où a=c et F=F' sont tout à fait triviaux et correspondent au cercle de rayon a et à la droite (FF'), nous les laissons donc de côté.
Considérons donc deux points F et F' distants de 2c et soit E l'ensemble des points M vérifiant MF+MF'=2a où a est un réel positif a > c.
Alors E est une ellipse algébrique de demi-axes a et b=√(a2-c2).

Choisissons un repère orthonormé centré sur O, milieu de [FF'], tel que l'axe des abscisses ait la droite (FF') comme support.
Dans un tel repère on a F(c,0) et F'(-c,0) et les points de E sont caractérisés par :
( x + c ) 2 + y 2 + ( x c ) 2 + y 2 = 2 a
Cette égalité est équivalente à
( x + c ) 2 + ( x c ) 2 + 2 y 2 4 a 2 = 2 ( x 2 + y 2 + c 2 ) 2 4 c 2 x 2
laquelle est encore équivalente à
( a 2 c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 c 2 )
Soit encore :
x 2 a 2 + y 2 a 2 c 2 = 1
Nous reconnaissons là l'équation réduite d'une ellipse algébrique de demi-axes a et b=√(a2-c2), d'axes principaux (FF') et sa médiatrice, de centre O.
Les points F et F' s'appellent les 'foyers' de E.
Nous avons procédé par une série d'équivalences logiques. Il est donc clair qu'inversement tout ellipse algébrique s'obtient ainsi. Il est donc établi que :
Les définitions des ellipses algébriques soit par la forme de leur équation réduite soit par foyers et relation métrique sont rigoureusement équivalentes.
La relation MF+MF'=2a est donc une relation caractéristique des ellipses algébriques.
L'applet suivante vous permet de faire varier les paramètres a et c avec les curseurs.
Vous pouvez également déplacer le point M sur l'ellipse.
Vous observerez la relation MF+MF'=2a.

Définition bifocale des hyperboles 'algébriques'

Nous appelons ici hyperboles 'algébriques' ce que nous avons appelé 'courbes de type H' dans la classification de la page précédente, issue de la réduction des équations.
Il s'agit donc des courbes d'équation
x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1
où a et b sont des réels positifs. Nous revenons sur une propriété des hyperboles 'historiques' (définies comme sections de cône). Cette propriété étant que les points de l'ellipse sont caractérisés par MF-MF'=2a où F et F' sont deux points distants de 2c, (revoir par exemple ce paragraphe).
Nous avons vu que cette propriété entrainait en particulier que toute hyperbole 'historique' était une hyperbole 'algébrique'.
Nous étudions maintenant systématiquement les ensembles définis par une telle relation métrique pour voir que ces ensembles coïncident exactement avec les hyperboles 'algébriques'.
Considérons donc deux points F et F' distants de 2c et soit H l'ensemble des points M vérifiant MF-MF'=2a où a est un réel positif a < c.
Alors H est une hyperbole algébrique avec b=√(c2-a2).

Choisissons un repère orthonormé centré sur O, milieu de [FF'], tel que l'axe des abscisses ait la droite (FF') comme support.
Dans un tel repère on a F(c,0) et F'(-c,0) et les points de E sont caractérisés par :
( x + c ) 2 + y 2 ( x c ) 2 + y 2 = 2 a

( x + c ) 2 + ( x c ) 2 + 2 y 2 4 a 2 = 2 ( x 2 + y 2 + c 2 ) 2 4 c 2 x 2

( c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 = a 2 ( c 2 a 2 )

x 2 a 2 y 2 c 2 a 2 = 1
Nous avons donc bien une hyperbole algébrique avec b=√(c2-a2).
La réciproque est évidente c=√(a2+b2).
Les définitions des hyperboles algébriques soit par la forme de leur équation réduite soit par foyers et relation métrique sont rigoureusement équivalentes.
La relation |MF-MF'|=2a est donc une relation caractéristique des hyperboles algébriques.
L'applet suivante vous permet de faire varier les paramètres a et c avec les curseurs.
Vous pouvez également déplacer le point M sur l'hyperbole.
Vous observerez la relation |MF-MF'|=2a.

Traçés 'à la ficelle'

Ellipses

L'ellipse est appelée quelquefois "l'ovale du jardinier".
La définition bifocale permet d'imaginer un procédé de tracé relativement simple.
L'animation qui suit vous permet de voir cette construction.

Hyperboles

L'animation qui suit vous permet de voir une construction de l'hyperbole.
La méthode est due à Ibn Sahl (10°siècle).