Ménechme et Appollonius

Sources : Encyclopédie Wikipédia :
Ménechme (milieu du IVe siècle avant J.C., circa -380 - circa -320) était un mathématicien et géomètre grec. Il est né à Alopeconnesus, de nos jours en Turquie. Il est le frère de Dinostrate.
Il fut un disciple de Platon et d'Eudoxe, et précepteur avec Aristote d'Alexandre le Grand.
Il avança suffisamment la théorie des sections coniques pour que ces courbes prirent dans l'antiquité le nom de courbes de Ménechme.
Appolonius poursuivit le travail de Ménechme.
Apollonius de Perge (en grec ancien Ἀπολλώνιος / Apollốnios, v. 262 – v. 190 av. J.-C.) était un géomètre et astronome grec. Il serait originaire de Pergé (ou Perga, actuelle Aksu en Turquie), d'où les noms d’Apollonius ou Apollonios de Perga que l'on rencontre parfois.
Apollonius est célèbre pour ses écrits sur les sections coniques. C'est aussi lui qui donna à l'ellipse, à la parabole, et à l'hyperbole les noms que nous leur connaissons. On lui attribue en outre l'hypothèse des orbites excentriques pour expliquer le mouvement apparent des planètes et la variation de vitesse de la Lune.

http://www.kvitters.com/search/Apollonius%20of%20Perga
Il ressort de ses études qu'on doit d'abord distinguer deux cas :

Cas où le plan passe par le sommets

Premier cas de dégénérescence Second cas de dégenerescence Troisième cas de dégénérescence
Images générées avec K3dsurf
Dans les 3 exemples ci-dessus le cône a pour équation x2+y2-z2=0.
  1. Dans le premier cas le plan a pour équation z=0, on trouve donc x2+y2=0 soit x=y=0 et l'intersection est réduite à une seul point.
  2. Dans le second cas le plan a pour équation y=z.
    les points de l'intersection vérifie donc x=0 et on trouve l'intersection des plans x=0 et y=z soit une droite.
  3. Dans le troisième cas l'équation du plan est y=x.
    Les points d'intersection doivent donc satisfaire 2x2-z2=0.
    On trouve donc la droite D1 d'équations y=x et z=√2x et la droite D2 d'équations y=x et z=-√2x

Autres cas

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Sphères de Dandelin

Nous allons maintenant établir rigoureusement les propriétés constatées ci-dessus.
Nous aurons pour cela besoin de quelques définitions préliminaires.
Le mérite revient à Germinal Pierre Dandelin d'avoir trouvé une démonstration simple de résultats certes déjà connus d'Appolonius de Perge mais pour lesquels toute trace de preuve avait été perdue.

Germinal Pierre Dandelin

Extrait de l'encyclopédie Wikipédia :
Germinal Pierre Dandelin (12 avril 1794 au Bourget, France - 15 février 1847 à Bruxelles) était un mathématicien belge. Il est surtout connu pour ses travaux en géométrie.
Les travaux de Dandelin portent sur la géométrie et principalement sur les coniques, pour lesquelles il démontre plusieurs résultats, en particulier celui que l'on appelle de nos jours le théorème de Dandelin, qu'il prouve en 1822. Son nom est associé à la sphère de Dandelin, à la méthode de Dandelin-Gräffe qui sert à la résolution d'équations algébriques. Il a aussi publié sur la projection stéréographique, l'algèbre et la théorie des probabilités.


Nous ne considérons dans ce paragraphe que des cônes droits à base circulaire.

Sphère tangente à un cône

Une sphère est dite tangente à un cône en un point M si M est un point de la sphère et si le plan tangent à la sphère en M contient une génératrice du cône.
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Cas où le centre de la sphère est sur l'axe du cône

Quand une sphère est tangente à un cône et a son centre sur l'axe du cône, alors elle est tangente au cône en une infinité de points qui forment un cercle situé dans un plan orthogonal à l'axe du cône.
C'est tout simplement parce que dans ce cas l'axe du cône est un axe de symétrie de la figure.
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Définition d'une sphère de Dandelin

On considère la figure formée par un cône C et un plan P.
Une 'sphère de Dandelin' relative à C et P est une sphère centrée sur l'axe de C, tangente à C et tangente à P également.
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Angle d'ouverture d'un cône et régionnement de l'espace associé

Soit C un cône.
Nous supposerons que le sommet de C est à l'origine du repère et que l'axe de C se confond avec l'axe Oz du repère.
On appelle 'angle d'ouverture' de C l'angle θ géométrique (non orienté) que fait chaque génératrice avec l'axe du cône.
On peut supposer que θ est positif et strictement compris entre 0 et π/2, puisque le cône d'ouverture π-θ est le même que le cône d'ouverture θ.
Le cas θ=0 correspond au cas dégénéré où le cône est une droite.
Le cas θ=π/2 correspond au cas dégénéré où le cône est un plan.
Dans les conditions ci-dessus, l'équation de C est x2+y2-tan2(θ)z2=0.
L'espace se partage alors en deux régions :
En outre, chacune de ces deux régions se partage elle-même en deux sous-régions, la partie 'supérieure' correspondant au point M(x,y,z) avec z>0 et la partie 'inférieure' correspondant aux points M(x,y,z) avec z<0.
Il résulte des définitions que :
Les sphères de Dandelin sont intérieures au cône.
En outre, deux sphères de Dandelin relatives à un même cône et à un même plan seront dites 'du même côté' du cône si elles se situent toutes deux dans le demi-espace z>0 ou dans le demi-espace z<0.
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Etude théorique concernant l'existence, le nombre et la position des sphères de Dandelin

Nous allons maintenant justifier les observations faites ci-dessus.
Nous considérons la figure formée par un cône C et un plan P ne passant pas par le sommet du cône.
En faisant une translation on peut supposer que le sommet du cône est l'origine du repère.
Par une rotation on peut amener en coïncidence l'axe du cône avec l'axe Oz du repère.
Par une rotation autour de Oz on peut faire en sorte que le vecteur normal n à P soit dans le plan (Ox,Oz).
Bref, sans aucune perte de généralité, nous pouvons supposer que le cône a une équation :
x2+y2-tan2(θ)z2=0 où θ est l'angle d'ouverture du cône.
et P a une équation :
sin(φ)x-cos(φ)z+k=0 où k est une constante non nulle puisque le plan ne passe pas par le sommet du cône, et où φ désigne l'angle géométrique (non orienté) du vecteur normal à P avec l'axe Oz.
Soit maintenant Ω(0,0,h) le centre d'une sphère de Dandelin.
La distance de Ω à C est |hsin(θ)|.
La distance de Ω à P est |k-cos(h)|.
h doit être solution de l'équation :
|hsin(θ)|=|k-cos(h)|.
Les nombres h cherchés sont donc soit solutions de :
hsin(θ)=k-cos(φ)h soit encore h(sin(θ)+cos(φ))=k
soit solutions de :
hsin(θ)=cos(φ)h-k soit encore h(sin(θ)-cos(φ))=-k
Le paramètre θ vérifie 0 < θ < π/2.
Le paramètre φ vérifie 0 ≤ φ ≤ π.
Il est clair que la première équation n'admet aucune solution quand sin(θ)+cos(φ)=0, et une solution dans le cas contraire.
La seconde équation n'admet aucune solution dans le cas sin(θ)-cos(φ)=0, et une solution dans le cas contraire.
Notons que les hypothèses faites sur θ interdisent que l'on ait simultanément sin(θ)+cos(φ)=0 et sin(θ)-cos(φ)=0 car on aurait alors sin(θ)=0.
En définitive il y a une ou deux solutions.
Les cas correspondant à une solution unique sont :
sin(θ)=cos(φ) et comme cos(π/2-θ)=sin(θ)cela correspond au cas où le plan P est parallèle à une génératrice.
sin(θ)=-cos(φ) qui correspond encore au cas où P est parallèle à une génératrice du cône.
Bref, il y a une sphère de Dandelin unique quand le plan est parallèle à une génératrice (angle d'incidence égal ou opposé à l'angle d'ouverture du cône) et deux sphères de Dandelin dans le cas contraire.
Lorsqu'il y a deux solutions, c'est à dire deux sphères de Dandelin, leurs centres ont des coordonnées :
Ω1(0,0,h1)
Ω2(0,0,h2)

h 1 = k cos ( φ ) + sin ( θ )
et
h 2 = k cos ( φ ) - sin ( θ )

Les deux sphères seront du même côté du cône quand les deux quantités cos(φ)+sin(θ) et cos(φ)-sin(θ) seront de même signe.
Donc quand le produit de ces deux quantités soit cos2(φ)-sin2(θ) sera positif.
Si nous introduisons l'angle ψ que fait le plan avec l'axe du cône, on a cos(φ)=sin(ψ) et la condition devient sin2(φ)-sin2(θ) > 0
En résumé si ψ est entre -π/2 et π/2 les deux sphères sont :
Cette étude corrobore donc bien les observations faites sur l'appliquette précédente.
Nous allons maintenant faire 3 études séparées correspondant aux trois cas suivants :

Premier cas

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La courbe intersection sera dans ce cas nommée 'parabole' (au sens historique).
Pour les propriétés géométriques de ces courbes, voit cet exercice.

Second cas

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La courbe sera dans ce cas nommée 'ellipse' (au sens historique).
Pour les propriétés géométriques de ces courbes, voit cet exercice.

Troisième cas

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La courbe sera dans ce cas nommée 'hyperbole' (au sens historique).
Pour les propriétés géométriques de ces courbes, voir cet exercice.