Intersection de deux coniques (théorie)

Soient donc deux coniques C1 et C2 dans le plan euclidien.
On peut toujours supposer que nous travaillons dans un repère où C2 a été 'réduite'.
Dans un tel repère C2 a une équation du type :
et C1 a pour équation :
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0
Supposons par exemple que C2 soit une ellipse, on a alors :
y = ± 1 x 2 a 2
Les abscisses des points d'intersection sont donc solutions de l'équation
± 1 x 2 a 2 ( Bx + E ) = A x 2 C ( 1 x 2 a 2 ) Dx F
Soit en élevant au carré
( 1 x 2 a 2 ) ( Bx + E ) 2 = ( A x 2 + C ( 1 x 2 a 2 ) + Dx + F ) 2
On a donc une équation du type P(x)=0 où P est un polynôme de degré 4 au maximum.
Le lecteur constatera par lui-même que la même conclusion vaut quand C2 est un hyperbole ou une parabole.
En conclusion :
Le nombre des points d'intersection de deux coniques dans le même plan ne peut excéder 4.
Il y a donc a priori 5 cas possibles :
Le paragraphe suivant montre par des exemples que ces 5 cas se produisent effectivement quel que soit le type de chacune des deux coniques.

Représentation de tous les cas possibles

Toutes les images sont générées avec GeoGebra.

Cas de deux paraboles

0 1 2 3 4

Cas parabole-ellipse

0 1 2 3 4

Cas parabole-hyperbole

0 1 2 3 4

Cas de deux ellipses

0 1 2 3 4

Cas ellipse-hyperbole

0 1 2 3 4

Cas de deux hyperboles

0 1 2 3 4

Exemples de calcul

Les deux exemples qui suivent ont été choisis volontairement très simple pour l'exposé d'une méthode.
Dans la réalité la recherche de l'intersection de deux coniques quelconques est un exercice théoriquement simple et techniquement compliqué.
Il nécessite en effet la réduction algébrique d'une des deux coniques, puis la résolution d'une équation de degré 4 par la méthode de Ferrari.

Exemple 1

On cherche l'intersection de la parabole P : y²=12x avec le cercle C : (x+3)²+y²=72.
Les coordonnées des points d'intersection sont solutions du système
{ ( x + 3 ) 2 + y 2 = 72 y 2 = 12 x
Donc les abscisses sont solutions de l'équation
( x + 3 ) 2 + 12 x = 72
Cette équation admet 3 pour racine double, ce qui nous donne les deux points :
M1(3,6), M2(3,-6)

Exemple 2

Intersection de la conique C1 d'équation x²+4y²+12x-16y-28=0 avec la conique C2 d'équation x²+12x-4y+44=0.
Dans le repère de centre Ω(-6,2), les équations des coniques s'écrivent :
X²/80+Y²/20=1 (ellipse)
et
X²=4Y (parabole)
Les points d'intersection sont donc solutions du système
{ X 2 80 + Y 2 20 = 1 X 2 = 4 Y
En résolvant en X et Y on trouve finalement les deux points
A(-10,6) et B(-2,6)

Angle de deux coniques

"L'angle d'intersection de deux coniques" en un point commun est défini comme l'angle de droites formé par leurs tangentes respectives en ce point.

Exemple de calcul

Reprenons l'exemple 2 du paragraphe précédent et calculons l'angle d'intersection de la parabole et de l'ellipse au point B(-2,6).
L'équation de la tangente T1 en B à la parabole est y=2x+10.
L'équation de la tangente T2 en B à l'ellipse est y=-0.25x+5.5.
Donc si α1 désigne l'angle que fait T1 avec l'axe des abscisses et si α2 désigne l'angle que fait T2 avec l'axe des abscisses, on a:
tan(α1)=2
tan(α2)=-0.25
Donc α1=1.107148718 et α2=-0.244978663.
Ce qui nous donne α=α12=1,352127381.