Définition des normales

Soit C une conique et M0(x0,y0) un point de cette conique. La 'normale' en M0 à C est la droite passant par M0 et orthogonale à la tangente à C en M0.

Equations

Paraboles

Pour la parabole d'équation
y = 1 2 p x 2
On obtient immédiatement l'équation de la normale au point M0(x0,y0)
x 0 ( y y 0 ) + p ( x x 0 ) = 0
Application
L'applet suivante montre la parabole P d'équation y=(1/2p)x² , un point courant M0 de P, la tangente et la normale à P en M0.
Vous pouvez, avec le curseur, faire varier le paramètre p.
Vous pouvez également déplacer le point M0 sur P.

Coniques à centre

Pour une conique à centre d'équation
x 2 a 2 ± y 2 b 2 = 1
L'équation de la normale au point M0(x0,y0) est
b 2 x 0 ( y y 0 ) = ± a 2 y 0 ( x x 0 )
Application à l'ellipse
L'applet suivante montre l'ellipse E d'équation x²/a²+y²/b²=1 , un point courant M0 de E, la tangente et la normale à E en M0.
Vous pouvez, avec les curseurs, faire varier les paramètres a et b.
Vous pouvez également déplacer le point M0 sur E.
Application à l'hyperbole
L'applet suivante montre l'hyperbole H d'équation x²/a²-y²/b²=1 , un point courant M0 de E, la tangente et la normale à H en M0.
Vous pouvez, avec les curseurs, faire varier les paramètres a et b.
Vous pouvez également déplacer le point M0 sur H.

Propriété importante

Cas de l'ellipse

Soit E une ellipse de foyers F et F' et soit P un point de E.
Soit N la normale en P à E.
Alors N est la bissectrice de l'angle des demi-droites [PF) et [PF').

Soit d la distance PF.
Plaçons un point B sur la droite (PF') extérieur à l'ellipse tel que PB=d.
Soit T la bissectrice de ∠ FPB;.
LFB est un triangle isocèle de sommet P, dont T est une bissectrice.
T est donc la médiatrice de ce triangle issue de P.
Soit Q un point quelconque de T.
On a donc QB=QF.
F'Q+QF=F'Q+QB ≥ F'B=2a (inégalité du triangle).
Donc Q est extérieur à E.
Il en résulte que le seul point de T non extérieur à E est P.
T est donc la tangente à E en P.
Applet correspondant à la figure.
Applications
Si l'ellipse était un miroir, un rayon issu de F serait réfléchi sur F'.
Formulation équivalente : si l'ellipse était une table de billard, une balle lancée depuis F rebondirait pour passer par F', quelle que soit sa direction de départ !
Cette propriété peut être utilisée pour construire un bâtiment dont le toit aurait la forme d'un ellipsoïde de révolution.
Une personne en F' entendrait très bien une autre personne chuchotant en F.

Cas de la parabole

Soit M un point de la parabole P de foyer F.
Soit N la normale en M à P.
Soit X un point de la parallèle en M à l'axe de P intérieur à P.
Alors N est la bissectrice de ∠ FMX.

Soit P une parabole de foyer F et de directrice D.
Soit M un point de P et H la projection orthogonale de M sur D.
Le triangle MPH est donc isocèle.
Soit T la bissectrice de ∠ FMH.
T est également la médiatrice issue de M.
Soit Q est un point quelconque de T distinct de M.
Soit H' la projection orthogonale de Q sur D. Alors on a QF=QH'.
De sorte que par Pythagore QF=QH' ⇔ QH=QH' ⇔ Q=M.
La droite T ne coupe donc P qu'au seul point M.
T est donc la tangente en M à P.
La normale est donc la bissectrice extérieure de ∠ FMH.
L'applet suivante représente la figure décrite ci-dessus.
Applications
Si une lampe a pour surface réflectrice un paraboloïde de révolution et si l'ampoule est placée au foyer, tous les rayons sont réfléchis dans la même direction.
Cette remarque est à la base de la technologie de la fabrication des lampes de type 'projecteur'.
Inversement, si des rayons lumineux sont issus d'une source extrêmement éloignée (comme le soleil), ils peuvent être considérés comme parallèles. En orientant un paraboloïde de révolution vers la source lumineuse on concentre les rayons vers le foyer du paraboloïde.
C'est ainsi qu'Archimède aurait par un système de 'miroirs ardents' réussi à enflammer les vaisseaux d'une flotte ennemie encerclant Syracuse.

Cas de l'hyperbole

Soit H une hyperbole de foyers F et F' et soit P un point de H.
Soit N la normale en P à H.
Alors N est la bissectrice extérieure de l'angle des demi-droites [PF) et [PF').
Cela revient à dire que la tangente T en P est la bissectrice de l'angle des demi-droites [PF) et [PF').
La démonstration est tout à fait analogue à la précédente pour le cas de l'ellipse.
Applet correspondant à la figure.