Un 'paramétrage' d'une courbe consiste en la donnée d'une application t → M(t) d'un intervalle de ℝ sur l'ensemble des points de la courbe.
De fait, un repère étant choisi, tout point M(t) à des coordonnées (x(t),y(t)). Un tel paramétrage se confond donc avec la données de deux fonctions x et y de la variable t.
Les cas les plus intéressants sont les cas où les fonctions x(t), y(t) sont au minimum continues, ou mieux une ou plusieurs fois dérivables.
Une même courbe peut en général être paramétrée de plusieurs manières.
Un cas particulier intéressant est celui où la courbe est le graphe d'une fonction f : x → f(x). Il existe alors un paramétrage 'naturel', lié au choix de l'abscisse comme paramètre :
{ x ( t ) = t y ( t ) = f ( t )

Paramétrage de la parabole

On choisira en général le paramétrage naturel par l'abscisse ou par l'ordonnée suivant l'orientation de l'axe de la parabole. Par exemple :
{ x ( t ) = t y ( t ) = 2 p t 2
pour les paraboles à axe vertical.

Paramétrages de l'ellipse

On peut, bien entendu, partir de l'équation générale de l'ellipse qui permet d'écrire :
y = ± b 1 x 2 a 2
et paramétrer la partie supérieure de l'ellipse par :
{ x = t y = b 1 t 2 a 2
pour t ∈ [-a,a].
Et la partie inférieure par :
{ x = t y = -b 1 t 2 a 2
pour t ∈ [-a,a].
Cependant ce n'est pas la façon la plus simple.
En remarquant que sin 2 ( t ) + cos 2 ( t ) = 1
On voit que le point M(t)(a.cos(t),b.sin(t)) est un point de l'ellipse pour tout t ∈ [0,2π[, et que l'application t → M(t) est une bijection de [0,2π[ sur l'ensemble des points de l'ellipse.
Cette remarque suggère d'ailleurs une construction d'une l'ellipse de centre O à partir d'un cercle de centre O et de rayon a et d'un cercle de centre O et de rayon b.
Sur l'applet suivante, vous pouvez faire varier avec les curseurs :
Le point M a pour coordonnées (a×cos(t),b×sin(t)).
Il parcourt l'ellipse quand la valeur de t en radians se situe dans l'intervalle [0,2π[.

La figure ci-dessus montre en outre clairement que :

Paramétrages de l'hyperbole

On peut, bien entendu, partir de l'équation générale de l'hyperbole qui permet d'écrire :
x = ± a 1 + y 2 b 2
Obtenir le paramétrage d'une branche par :
{ y = t x = a 1 + t 2 b 2
Pour t ∈ ]-∞,+∞[
et la seconde branche par :
{ y = t x = -a 1 + t 2 b 2
Pour t ∈ ]-∞,+∞[
Cependant ce n'est généralement pas la solution retenue.
De la même façon que précédemment on part de la remarque cosh 2 ( t ) sinh 2 ( t ) = 1 (revoir éventuellement cette page).
On obtient le paramétrage d'une branche par :
{ x = a cosh ( t ) y = b sinh ( t )
pour t ∈ ]-∞,+∞[
et de l'autre branche par :
{ x = a cosh ( t ) y = b sinh ( t )
pour t ∈ ]-∞,+∞[
Sur l'applet suivante, vous pouvez faire varier avec les curseurs :
Le point M a pour coordonnées (a×cosh(t),b×sinh(t)).
Il parcourt une branche d'hyperbole quand la valeur de t en radians se situe dans l'intervalle [-∞,+∞[.