Dans toute cette page, il est important de connaître ce qu'est une division harmonique.
Il importe également de savoir que le birapport est conservé par projection centrale (voir cette page).
Il faut enfin connaître la géométrie du cercle, et savoir ce que sont des cercles orthogonaux.
Nous commençons par décrire le régionnement du plan associé à toute conique.

Polaire d'un point par rapport à un cercle

Soit dans un même plan C un cercle de centre O et deux points A et B. On dit que A et B sont 'conjugués' relativement à C si le cercle de diamètre [AB] est orthogonal à C.

image générée avec GeoGebra
Si la droite (AB) coupe le cercle C en M et M', il y a équivalence entre :
Pour la preuve de cette proposition voir cet exercice et sa solution. Soit C le cercle de centre O et de rayon R et soit A un point du plan de C distinct de O.
On appelle 'polaire' de A par rapport à C l'ensemble des conjugués de A par rapport à C.
C'est une droite orthogonale à (OA) en H tel que OH OA = R 2
Toute droite qui ne passe pas par O est la polaire d'un point et d'un seul appelé son 'pôle'.

image générée avec GeoGebra
Soit en effet H la projection orthogonale d'un point sur (OA) alors le cercle de diamètre [AB] passe par H.
Alors B conjugué de A par rapport à C ⇔ OH OA = R 2 (revoir la puissance d'un point par rapport à un cercle)
Si A est extérieur à C, la polaire de A passe par les points de contact des tangentes menées de A à C.
En effet, ces points sont visiblement conjugués de A.

Première application

Construction de la polaire d'un point extérieur à C.
Avec l'applet suivante vous pouvez déplacer le point A extérieur à C.
Vous pouvez également faire varier le diamètre du cerrcle avec le curseur.

Seconde application

Construction du pôle d'une sécante à C.
L'applet suivante vous permet de voir la construction du pôle d'une droite sécante au cercle.
Vous pouvez déplacer M et M' sur C avec la souris et voir le pôle A de la droite (MM').
Le rayon du cercle peut être modifié avec un curseur.

Troisième application

Construction de la polaire d'un point intérieur à C.
Si A est intérieur à C construire deux sécantes à C passant par A.
Construire les pôles G et H de ces deux sécantes.
La droite (GH) est la polaire de A.
L'applet suivante vous permet de déplacer A à l'intérieur du cercle et de voir sa polaire pA en rouge.

Quatrième application

Construction du pôle d'une droite non sécante au cercle.
Il suffit de prendre deux points distincts A et B de la droite.
Puis de construire les polaires de A et B par la première méthode.
Le pôle cherché est l'intersection de ces deux polaires.
L'applet suivante vous permet de déplacer les points A et B pour faire varier la droite (AB), de telle sorte que (AB) ne soit pas sécante à C.
Le pôle de la droite (AB) est le point vert noté 'P'.
Vous pouvez également faire varier le rayon du cercle C.
Notez que la droite (OP), ici en vert, est un axe de symétrie pour la figure formée par le cercle C et la droite (AB).
Trois points sont alignés si et seulement si leurs polaires sont concourantes (ou parallèles s'ils sont alignés avec le centre du cercle).
En effet, le point de concours des polaires des deux premiers est le pôle de la droite qui les joint.
Enfin, quand le point est sur le cercle, sa polaire est la tangente au cercle en ce point.

Polaire d'un point par rapport à une conique

Nous avons vu qu'une conique est la transformée d'un cercle par une projection centrale.
Soit un point A' du plan de la conique qui soit l'image d'un point A du plan du cercle tel que A ne soit pas le centre du cercle.
Alors A a une polaire D relativement au cercle.
L'image D' de D par la projection centrale sera appelée la 'polaire' de A' par rapport à la conique.
Etant donné que les projections centrales conservent les birapports (mais pas les angles), nous pouvons aussi bien opter pour la définition des polaires par les divisions harmoniques.
Si A' est un point du plan de la conique et si Δ et Δ' sont deux sécantes à la conique passant par A.
Si M1 et M2 sont les points d'intersection de Δ avec la conique.
Si M'1 et M'2 sont les points d'intersection de Δ' avec la conique.
Si B est le conjugué harmonique de A' par rapport à (M1,M2) et si B' est le conjugué harmonique de A' par rapport à (M'1,M'2).
La polaire de A' par rapport à la conique est la droite (BB').
En particulier :
Par tout point extérieur à la conique passent deux tangentes à la conique.
Le point de concours des deux points de contact est la polaire du point par rapport à la conique.

Equation de la polaire

Cas des coniques à centre

Considérons une conique à centre C d'équation
x 2 a 2 ± y 2 b 2 = 1
Soit M1(x1,y1) un point extérieur à la conique.
Soit P1 la droite d'équation
x x 1 a 2 ± y y 1 b 2 = 1
Alors, compte tenu de ce que nous avons vu sur les équations des tangentes, son équation est satisfaite par le point de contact de la première tangente à la conique C, et également par le second point de contact.
Cette équation est donc l'équation de la polaire de M1 par rapport à C.
Cette équation reste valable quand M1 n'est plus extérieur à la conique.

En effet si M1(x1,y1) est intérieur à la conique les ordonnées des points d'intersection de la conique avec la verticale menée en M1 sont
b 1 x 1 2 a 2
et b 1 x 1 2 a 2
L'intersection de cette verticale avec la droite
x x 1 a 2 ± y y 1 b 2 = 1
a pour ordonnée
b 2 y 1 ( 1 x 1 2 a 2 )
Posant
ε = ( 1 x 1 2 a 2 )
Il suffit de montrer que
y 1 y 1 + = b 2 ε 2 y 1 b 2 ε 2 y 1 +
Ce qui se vérifie instantanément.
Application à l'ellipse
L'applet suivante vous permet de déplacer le point M1 et de voir sa polaire par rapport à E.
Les paramètres a et b de l'ellipse sont modifiables par curseurs.
L'équation de la polaire est calculée par la formule ci-dessus.
Application à l'hyperbole
L'applet suivante vous permet de déplacer le point M1 et de voir sa polaire par rapport à H, tracée en rouge.
Noter également, quand M1 est extérieur à H, la position des points de contact des tangentes (représentés en bleu) selon le quadrant dans lequel M1 se trouve.
On parle ici des quadrants délimités par les asymptotes (représentées en vert).
Observez ce qui se passe quand M1 est sur H.
Oservez ce qui se passe quand M1 est intérieur à H et se déplace sur l'axe x'Ox.

Cas des paraboles

On montre de la même façon que pour les coniques à centre que :
Pour la parabole d'équation y = 1 2 p x 2
la polaire du point P1(x1,y1) a pour équation
x x 1 = p ( y + y 1 )
Application
Nous utilisons le théorème ci-dessus pour calculer la polaire d'un point M1.
Vous pouvez déplacer ce point avec l'applet ci-après.