Le but de cette page est de généraliser la notion de 'tangente' déjà rencontrée pour les cercles.
Si dans le cas de l'ellipse on peut tout simplement copier cette définition, il n'en va pas de même pour les paraboles et les hyperboles pour lesquelles on peut trouver des droites n'ayant qu'un point commun avec la conique et ne correspondant pas à la notion de tangente.
Dans tout ce paragraphe il est important de garder à l'esprit que toute conique est l'image d'un ou deux cercles dans une projection centrale.
Cela résulte évidemment de la définition 'historique' des sections coniques. On voit que la conique est l'image de chaque cercle de contact d'une sphère de Dandelin avec le cône dans une projection centrale ayant pour centre le sommet S du cône.

Intersection d'une conique avec une droite

Etant donné qu'une conique peut être définie comme une courbe algébrique du second degré, les abscisses des points d'intersection d'une droite (équation de degré 1) avec une conique (degré 2) seront solutions d'une équation de degré au plus égal à 2.
Il peut donc y avoir a priori :

Quelques illustrations

Nous avons représenté en bleu certains cas particuliers qui nous intéressent.
Parabole
Ellipse
Hyperbole
  • Aucun point d'intersection: D3
  • Un point d'intersection: D1,D4,D5
  • Deux points d'intersection: D2
  • Aucun point d'intersection: D2
  • Un point d'intersection: D3,D4
  • Deux points d'intersection: D1
  • Aucun point d'intersection: D1
  • Un point d'intersection: D3,D2
  • Deux points d'intersection: D4, D5
Les images ont toutes été générées avec GeoGebra.

Définition des tangentes (approche historique)

Nous voyons maintenant que dans chaqu'un des 3 cas possibles, par tout point d'une conique il peut passer une, deux ou même trois droites ne coupant la conique qu'en cet unique point.
Nous précisons dans chaque cas ce qu'il convient d'appeler 'tangente', nous en déduirons par la suite quelques propriéts immédiates.
Nous confronterons également ce point de vue à d'autres approches possibles, pour obtenir plusieurs significations possibles de la tangente en un point à une conique.

Ellipse

Le cas de l'ellipse est sans doute le plus simple.
Voir l'application sur une nouvelle page.
Il est clair que pour chaque point M de L'ellipse il existe une est une seule droite coupant cette ellipse en l'unique point M. Cette droite, qui est l'image de N dans la projection centre de centre S de E sur P est appelée 'tangente' en M à l'ellipse.

Parabole

Voir l'application sur une nouvelle page.
Il est clair que pour chaque point M de la parabole il existe deux droites coupant cette parabole en l'unique point M.
Nous appelons 'tangente' en M à la parabole celle des deux qui n'est pas parallèle à l'axe de symétrie de la parabole.
Cette droite est encore image dans la projection de centre S de E sur P de la tangente en A à Γ.

Hyperbole

Voir l'application sur une nouvelle page.
Il est clair que pour chaque point M de la l'hyperbole il existe trois droites coupant cette parabole en l'unique point M.
Nous appelons 'tangente' en M à la parabole celle des trois qui n'est parallèle à aucune asymptote de l'hyperbole.
Cette droite est encore image dans la projection de centre S de E sur P de la tangente en N à Γ.
Une conséquence de cette première définition est la suivante :
Localement (au voisinage du point M) la tangente en M à la conique C se trouve toujours du même côté de sa tangente en M. C'est à dire que les coniques sont des courbes très régulières pour lesquelles ont ne peut avoir de singularité (ni point d'inflexion ni point de rebroussement).

Image:http://serge.mehl.free.fr/anx/Rebroussement.html
La raison en est que c'est le cas du cercle et que les singularités sont conservées par projection centrale.

Définition des tangentes (approche algébrique)

Comme nous l'avons vu plus haut, une droite D passant par un point P d'une conique C coupe C en un ou deux points, l'équation aux abscisses des points d'intersection étant de degré 2 au plus.
Les 'tangentes' à C correspondent précisément au cas où l'équation est de degré 2 avec deux racines confondues (un discrimant nul).
Avec les applets suivantes vous pouvez déplacer les points sur les coniques, les tangentes s'affichent instantanément.

Cas de l'ellipse

Cas de la parabole

Cas de l'hyperbole

Définition des tangentes (approche différentielle)

Soit M(x0,y0) un point d'une conique C et soit h un réel non nul.
On désigne par M'(h) le point de C d'abscisse x0+h. on désigne par D(h) la sécante (MM').
La 'tangente' T correspond à la position limite de la droite D(h) quand h tend vers 0 par valeurs différentes de 0.
En pratique cette définition n'est utile que quand on dispose d'un paramétrage de la conique.

Exemple de calcul

Calcul de la tangente à l'ellipse
{ x = 2 cos ( t ) y = sin ( t )
au point de paramètre π/4
Le point M de paramètre π/4 a pour coordonnées (2/√2,1/√2).
Le point M' de paramètre π/4+h a pour coordonnées ( 2 2 ( cos ( h ) sin ( h ) ) , 1 2 ( cos ( h ) + sin ( h ) ) )
La pente de la sécante (MM') est
p = lim h 0 , h 0 1 2 ( cos ( h ) + sin ( h ) 1 ) 2 2 ( cos ( h ) sin ( h ) 1 )
A priori la limite est une indétermination mais l'application de la règle de l'Hospital donne immédiatement
p=-1/2
L'équation de la tangente s'obtient alors en utlisant le fait qu'elle passe par M.
T : y = 1 2 x + 2

Visualisation

Avec l'applet suivante vous pouvez faire varier x0et déplacer M sur la parabole P.
Vous pouvez de la même façon faire varier x0+h, donc faire varier h et voir varier la sécante (MM') et sa position par rapport à la tangente T

Equations des tangentes

Il va de soi que toutes les approches développées ci-dessus conduisent aux mêmes objets, les tangentes définies par l'une ou l'autre des méthodes sont les mêmes.
Nous passons maintenant au calcul pratique des équations.

Cas de la parabole

L'approche différentielle nous donne immédiatement la solution.
La courbe est paramètrable par l'abscisse :
y = f ( x ) = 1 2 p x 2
Ce qui nous donne tout de suite la pente de la tangente au point M0 d'abscisse x0 :
α = f ' ( x 0 ) = x 0 p
Si l'équation de la tangente est y=αx+β
β s'obtient en écrivant que la tangente passe par M0
β = y 0 α x 0
On obtient donc l'équation de la tangente au point M0 :
x 0 x py x 0 2 + p y 0 = 0
L'applet ci-après vous permet de faire varier le paramètre p de la parabole et le point M de la parabole au moyen des curseurs.
La tangente apparait, sa pente est affichée.

Ellipses et hyperboles

L'équation réduite est de la forme f(x,y)=0 où f remplit les conditions du théorème des fonctions implicites.
En fait dans chaque cas
x 2 a 2 ± y 2 b 2 = 1
On peut extraire des formules explicites :
y = ± φ ( x )
où excepté pour les sommets A(a,0) et B(-a,0) φ est une fonction dérivable de la variable x.
Nous laisserons donc pour le moment ces points de côté, sachant qu'il est évident qu'il y a en chacun d'eux une tangente verticale.
Par dérivation sachant que la dérivée de y² est 2yy' on obtient la pente de la tangente au point M0(x0,y0) :
y ' 0 = ± b 2 x 0 a 2 y 0
où y'0=φ'(x0)
Puis en écrivant que :
y ' 0 ( x x 0 ) = y y 0
En dévelopant et en simplifiant il vient
x x 0 a 2 ± y y 0 b 2 = 1
qui constitue donc l'équation de la tangente en M0 à la conique (valable encore si x=a ou x=-a comme on le vérifiera)
.
L'applet suivante vous permet de faire varier les paramètres a et b de l'ellipse et le point M0 de l'ellipse, au moyen des 3 curseurs.
Vous voyez l'équation de la tangente T0 au point M0 à l'ellipse.
Vous remarquerez que l'intersection de T0 avec l'axe des x est indépendante du paramètre b et que de la même façon l'intersection de T0 avec l'axe des y est indépendante du paramètre a.

L'applet suivante vous permet de faire varier les paramètres a et b de l'hyperbole et les points M0 et M1sur chaque branche.
Les équations des tangentes T0 et T1 en M0 et M1 figurent.
Vous remarquerez que l'intersection des tangentes avec l'axe des x est indépendante du paramètre b et que de la même façon l'intersection de T avec l'axe des y est indépendante du paramètre a.

Equation des tangentes à une conique passant par un point donné

Cas de l'ellipse

Dans ce paragraphe p ne désigne pas le paramètre de l'ellipse mais la pente d'une droite.
Prenons une droite D(u,v) d'équation x u + y v = 1
où les deux constantes u et v sont les coordonnées des points d'intersection avec les axes.
Posons
{ u = a 2 x 0 v = b 2 y 0
Alors D(u,v) est une tangente (en M0(x0,y0)) si x0 et y0 satisfont l'équation de l'ellipse.
Ce qui nous donne :
a 2 u 2 + b 2 v 2 = 1
Comme 'condition de contact'.
Appliquons à la droite d'équation y=px+q, qui peut encore s'écrire
x q p + y q = 1
qui nous donne comme condition de contact
a 2 p 2 + b 2 q 2 = 0
Une droite passant par M0(x0,y0) a une équation générale
y y 0 = p ( x x 0 )
soit
y=px+(y0-px0)
La condition de contact s'écrit donc :
a 2 p 2 + b 2 ( y 0 p x 0 ) 2 = 0
ou bien
p 2 ( a 2 x 0 2 ) + 2 p x 0 y 0 + ( b 2 y 0 2 ) = 0
D'où le résultat final :
Si E est l'ellipse d'équation x²/a²+y²/b²=1 et si M0(x0,y0) est un point quelconque (n'appartenant pas forcément à E), les pentes p des tangentes en M0 à E sont solutions de l'équation :
p 2 ( a 2 x 0 2 ) + 2 p x 0 y 0 + ( b 2 y 0 2 ) = 0
L'applet qui suit vous permet de déplacer le point M0 dans le plan et de voir l'existence de tangentes à l'ellipse de demi-axes a et b en fonction de la position de M0.
Vous pouvez également faire varier a et b.
M1 est un point variable appartenant à l'ellipse.

Cas de l'hyperbole

Dans ce paragraphe p ne désigne pas le paramètre de l'hyperbole mais la pente d'une droite.
Un calcul analogue pour les hyperboles donne
Si H est l'hyperbole d'équation x²/a²-y²/b²=1 et si M0(x0,y0) est un point quelconque (n'appartenant pas forcément à H), les pentes p des tangentes en M0 à H sont solutions de l'équation :
p 2 ( a 2 x 0 2 ) + 2 p x 0 y 0 ( b 2 + y 0 2 ) = 0
L'application qui suit vous permet de déplacer un point M0 extérieur à l'hyperbole, et de voir les tangentes à l'hyperbole passant par ce point.
Observez ce qui se passe quand le point se déplace dans les 4 secteurs angulaires formés par les deux asymptotes tracées en vert.
On notera en particulier la position des points de contact (sur quelle branche se trouvent-ils ?.
Obesrvez également ce qui se passe quand M0 est sur une asymptote.
Vous pouvez faire varier également les paramètres a et b avec les curseurs.
M1 est un point courant de l'hyperbole et en le déplaçant on voit la tangente en M1 à la parabole.
Toutes les tangentes sont traçées en rouge.

Cas de la parabole

Dans ce paragraphe p désigne le paramètre de la parabole, c'est à dire que l'équation de la parabole P est 2py=x².
Une droite D0 de pente α passant par M0(x0,y0) aura une équation :
y-y0=α(x-x0)
Les points d'intersection de P et D0 sont solutions du système :
{ y = 1 2 p x 2 y = αx α x 0 + y 0
Donc leurs abscisses sont solutions de l'équation du second degré :
1 2 p x 2 αx + α x 0 y 0 = 0
ou encore
x 2 2 pαx + 2 p ( α x 0 y 0 ) = 0
Le discriminant réduit de cette équation est
Δ ' = p 2 α 2 2 p ( α x 0 y 0 )
D'où le résultat :
Les pentes α des droites passant par M0(x0,y0) et tangentes à la parabole P d'équation 2py=x² sont solutions de l'équation :
p α 2 2 x 0 α + 2 y 0 = 0
Sur l'application qui suit, vous voyez une parabole de paramètre P un point M0 du plan et un point courant M1 de la parabole.
Vous pouvez faire varier le paramètre p avec un curseur.
Vous pouvez également déplacer les points M0 et M1 avec la souris.
Quand elles existent les deux tangentes passant par M0 sont représentées.

Tangentes à une conique de pente donnée

On cherche les tangentes à une conique C dont l'équation est du type y=px+q où p est un nombre fixe donné à l'avance

Cas de l'ellipse

Dans ce paragraphe p ne désigne pas le paramètre de l'ellipse mais la pente d'une droite.
La condition de contact nous donne
q2=a2p2+b2
donc deux valeurs possibles pour q
q = ± a 2 p 2 + b 2
et deux droites
{ y = px + a 2 p 2 + b 2 y = px a 2 p 2 + b 2
L'applet suivante vous permet de vérifier le résultat ci-dessus, en faisant varier a,b et p.

Cas de l'hyperbole

Dans ce paragraphe p ne désigne pas le paramètre de l'hyperbole mais la pente d'une droite.
La condition de contact nous donne
q2=a2p2-b2
donc deux valeurs possibles pour q quand -b/a < p < b/a
q = ± a 2 p 2 - b 2
et deux droites
{ y = px + a 2 p 2 - b 2 y = px a 2 p 2 - b 2
L'applet suivante vous permet de vérifier le résultat ci-dessus, en faisant varier a,b et p.

Cas de la parabole

Dans ce paragraphe p désigne le paramètre de la parabole, c'est à dire que l'équation de la parabole est 2py=x².
D'après ce qui précède dire que la droite de pente α est tangente à P au point M0(x0,y0), revient à dire que α est solution de
p α 2 2 x 0 α + x 0 2 p = 0
Soit encore
p 2 α 2 2 x 0 + x 0 2 = ( x 0 ) 2 = 0
Il y a donc une solution unique x0=pα et un unique point de tangence M 0 ( , p α 2 2 )
L'applet suivante vous permet de vérifier le résultat ci-dessus, en faisant varier p et α.

Intérieur d'une conique

Parabole

Ellipse

Hyperbole

"L'intérieur" d'une parabole est l'image par projection centrale de l'intérieur du cercle qui lui correspond dans une projection centrale.
On pourra par exemple revoir cette figure.
On voit ici, colorié en vert pâle, l'intérieur d'une parabole.
"L'intérieur" d'une ellipse est l'image par projection centrale de l'intérieur de l'un quelconque des cercles qui lui correspondent dans une projection centrale.
On pourra par exemple revoir cette figure.
On voit ici, colorié en vert pâle, l'intérieur d'une ellipse.
"L'intérieur" d'une hyperbole est l'image par projection centrale de l'intérieur de l'un quelconque des cercles qui lui correspondent dans une projection centrale.
On pourra par exemple revoir cette figure.
On voit ici, colorié en vert pâle, l'intérieur d'une hyperbole.
Images générées avec GeoGebra
A contrario, le complémentaire de l'intérieur d'une conique est appelé son 'extérieur'.
Il reste à s'assurer que ces définitions sont indépendantes de la représentation d'une conique comme section de cône. C'est pourquoi il est bon de caractériser ces régions en fonction des paramètres intrinsèques de la conique.

Cas de la parabole

L'intérieur de la parabole correspond à l'ensemble des points M tels que d(M,F) < d(M,D) où F est le foyer et D la directrice de la parabole.
En outre si la parabole a, dans un repère orthonormé, pour équation 2py=x2, l'intérieur est l'ensemble des points vérifiant y > (1/2p)x2.

Cas de l'ellipse

L'intérieur de l'ellipse correspond à l'ensemble des points M tels que MF+MF' < 2a où F et F' sont les foyers de l'ellipse.
En outre si l'ellipse a, dans un repère orthonormé, pour équation x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , l'intérieur est l'ensemble des points vérifiant x 2 a 2 + y 2 b 2 < 1 .

Cas de l'hyperbole

L'intérieur de l'hyperbole correspond à l'ensemble des points M tels que |MF-MF'| > 2a où F et F' sont les foyers de l'hyperbole.
En outre si l'hyperbole a, dans un repère orthonormé, pour équation x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 , l'intérieur est l'ensemble des points vérifiant x 2 a 2 - y 2 b 2 > 1 .
Il résulte des définitions que :
L'intérieur d'une conique est convexe, son extérieur ne l'est pas.

Lien avec les tangentes

En exécutant les applets de la page précédente, par exemple celle-ci, celle-ci ou encore celle-ci, vous pouvez constater que :

En effet, nous avons vu que si E est l'ellipse d'équation x²/a²+y²/b²=1 et si M0(x0,y0) est un point quelconque (n'appartenant pas forcément à E), les pentes p des tangentes en M0 à E sont solutions de l'équation :
p 2 ( a 2 x 0 2 ) + 2 p x 0 y 0 + ( b 2 y 0 2 ) = 0
Le déterminant réduit de cette équation du second degré en p est
Δ ' = x 0 2 y 0 2 ( a 2 x 0 2 ) ( b 2 y 0 2 )
et Δ' > 0 équivaut à
x 0 2 a 2 + y 0 2 b 2 > 1
Si H est l'hyperbole d'équation x²/a²-y²/b²=1 et si M0(x0,y0) est un point quelconque (n'appartenant pas forcément à H), les pentes p des tangentes en M0 à H sont solutions de l'équation :
p 2 ( a 2 x 0 2 ) + 2 p x 0 y 0 ( b 2 + y 0 2 ) = 0
De la même façon en écrivant que le déterminant réduit de cette équation est > 0 on trouve la condition caractéristique de l'extérieur de l'hyperbole.
Enfin pour la parabole on s'intéresse au cas où l'équation en α
p α 2 2 x 0 α + 2 y 0 = 0
possède deux solutions.
La condition est équivalente à
y 0 < 1 2 p x 0 2