Définitions et exemples

Conformément à la définition générale un antidéplacement de l'espace est une isométrie de l'espace pour laquelle l'application linéaire associée est négative.
Il résulte de cette définition que :
La composée d'un antidéplacement avec un déplacement est toujours un antidéplacement.
En particulier
La composée d'un antidéplacement avec une translation est un antidéplacement.
Nous avons déjà vu que
Les symétries orthogonales (réflexions) par rapport à des plans sont des antidéplacements.

Image générée avec GeoGebra3D
Donc en particulier :
Les composées des réflexions avec des translations sont des antidéplacements.
Nous examinons maintenant ce qui se passe quand le vecteur de translation est orthogonal au plan de réflexion.
Soit donc T une translation de vecteur u et S réflexion par rapport à un plan H. On suppose que u est orthogonal à H.
Dans ces conditions ToS est une réflexion par rapport à un plan translaté de H de u/2.
La preuve analytique est instantanée dans tout repère orthonormal (O,u,v,w) où u est un vecteur orthogonal à H.
Il résulte de cette remarque que toute composée d'une réflexion plane relativement à H avec une réflexion peut s'écrire commme composée d'une réflexion avec une translation d'un vecteur de H. Comme dans le cas du plan, ces applications sont appelées des 'symétries glissées'.

Classification suivant les invariants

Tout d'abord pour ce qui concerne l'application linéaire associée aux antidéplacements nous pouvons reprendre l'étude de cas faite dans la page précédente concernent les isométries de l'espace :
Dans ce cas la matrice de l'application linéaire orthogonale u associée possède une ou trois valeurs propres réelles à l'ordre de multiplicité près, qui sont toutes égales à +1 ou à -1.
Les possibilités sont donc:
  1. 1,1,1 : 1 valeur propre de multiplicité 3
  2. -1,-1,-1 : -1 valeur propre de multiplicité 3
  3. 1,-1,-1 : 1 valeur propre simple et -1 valeur propre double
  4. -1,1,1 : -1 valeur propre simple et 1 valeur propre double
  5. 1 : 1 valeur propre unique et simple
  6. -1 : -1 valeur propre unique et simple
Les antidéplacements correspondent aux cas 2), 4) et 6), c'est à dire que leurs matrices se résument à la forme
1 0 0 0 cos ( θ ) sin ( θ ) 0 sin ( θ ) cos ( θ )
le cas n°2 correspondant à la valeur θ=π et le cas n°4 à la valeur θ=0.
Il est évident que l'ensemble des invariants d'un antidéplacement ne peut être égal à l'espace entier car l'identité est positive.
Les antidéplacements ne peuvent pas non plus avoir une droite d'invariants car leur matrice présenterait la valeur propre 1.
En résumé les invariants d'un antidéplacement de l'espace sont soit un plan, soit un point, soit l'ensemble vide.
Considérons nous dans le cas où c'est un plan.
Alors il est clair qu'on a affaire à la réflexion par rapport à ce plan (cas n°4).
Considérons le cas où l'invariant se réduit au seul point O.
Identifions l'affine et le vectoriel par le choix du point O.
L'antidéplacement a donc pour matrice
1 0 0 0 cos ( θ ) sin ( θ ) 0 sin ( θ ) cos ( θ )
où θ n'est pas un multiple de 2π.
Sachant que
1 0 0 0 cos ( θ ) sin ( θ ) 0 sin ( θ ) cos ( θ ) = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 × 1 0 0 0 cos ( θ ) sin ( θ ) 0 sin ( θ ) cos ( θ )
et que le produit de droite est commutatif.
l'antidéplacement apparait comme le produit commutatif d'une rotation d'axe Δ où Δ est une droite passant par O et de vecteur directeur un vecteur propre de la matrice correspondant à la valeur propre 1, par une réflexion relativement à un plan H passant par O et orthogonal à Δ.
Illustration
M" est l'image de M dans une rotation-réflexion de centre O.

Image générée avec GeoGebra3D
Il reste à étudier le cas où l'antidéplacement ne possède aucun point fixe.
La matrice du déplacement est de la forme :
1 0 0 0 a b 0 b a
avec a2+b2=1.
Les points fixes sont donc des solutions d'un système :
{ x = x + α y = ay bz + β z = by + az + γ
soit encore :
{ 2 x = α ( 1 a ) y + bz = β by + ( 1 a ) z = γ
Le déterminant de ce système est 2((1-a)2+b2).
Dire que l'antidéplacement ne possède aucun point fixe, c'est dire que ce déterminant est nul donc que a=1 et b=0 et que la matrice est
1 0 0 0 1 0 0 0 1
Ce qui correspond au cas n°4 de notre classification.
L'antidéplacement est alors à une translation près, une réflexion par rapport à un plan, donc une symétrie glissée telle que nous l'avons définie plus haut.
Nous pouvons donc résumer ainsi :
Invariants Antidéplacements
Espace E entier
Plan Réflexion
Droite
Point Rotation-Réflexion (commutative)
Symétrie glissée
En combinant avec les résultats de la page précédente, nous obtenons le tableau synoptique des isométries affines de l'espace à 3 dimensions.
Invariants Antidéplacements Déplacements
Espace E entier Identité
Plan Réflexion
Droite Rotation
Point Rotation-Réflexion (commutative)
Symétrie glissée Translation ou vissage