Cette page suppose connus tous les résultats de la page consacrée aux rotations vectorielles, et en particulier le cas de l'espace à 3 dimensions.

Définitions

Conformément aux usages respectés jusqu'ici :
Un déplacement de l'espace est une isométrie positive, donc une isométrie dont l'application linéaire associée est une rotation vectorielle.
Tout d'abord, comme dans le plan et en dimension quelconque, les translations (qui ont pour application linéaire associée l'application identique) sont des déplacements.
On s'intéresse maintenant aux déplacements de l'espace qui ne sont pas des translations. Distinguons deux cas :

Le déplacement possède au moins un point fixe.

Dans ce cas la matrice de l'application linéaire orthogonale u associée possède une ou trois valeurs propres réelles à l'ordre de multiplicité près, qui sont toutes égales à +1 ou à -1.
Les possibilités sont donc:
  1. 1,1,1 : 1 valeur propre de multiplicité 3
  2. -1,-1,-1 : -1 valeur propre de multiplicité 3
  3. 1,-1,-1 : 1 valeur propre simple et -1 valeur propre double
  4. -1,1,1 : -1 valeur propre simple et 1 valeur propre double
  5. 1 : 1 valeur propre unique et simple
  6. -1 : -1 valeur propre unique et simple
Nous éliminons le cas 1) qui correspond aux translations.
Nous éliminons les cas 2) et 4) qui correspondent à des isométries négatives.
Le cas 6) correspond également à une isométrie négative u, car si D est la droite associée à la valeur propre -1 et H son orthogonal, u induit sur H une isométrie vectorielle sans point fixe autre que l'origine, donc une rotation vectorielle et le déterminant de u est alors égal à -1.
Il ne reste donc que les deux cas :
  1. 1,-1,-1
  2. 1
Dans les deux cas ont voit donc qu'on a une droite de points fixes, et que la restriction de l'isométrie à tout plan orthogonal à cette droite est une rotation affine plane (toutes ces rotations affines ayant la même rotation vectorielle plane associée), d'où notre nouvelle définition :
On appelle 'rotation affine de l'espace' d'axe Δ tout déplacement de l'espace admettant Δ comme droite de points fixes.
Soit maintenant r une telle application et Δ sa droite de points fixes. Fixons un vecteur unitaire u sur Δ de sorte que (Δ,u) devient un axe. Dans ce cas si (v,w) est une base orthonormale du plan vectoriel H orthogonal à u et si on impose à (u,v,w) d'être directe, l'orientation de H définie par (v,w) ne dépend que de l'orientation de u.
Si r' est la rotation plane induite par r sur tout plan affine orthogonal à Δ r' est donc caractérisée par un angle α lié lui-même à l'orientation (v,w).
Nous désignerons alors r par l'appellation"rotation d'axe (Δ,u) et d'angle α".
Avec ces conventions :
La rotation d'axe (Δ,u) et d'angle α, coïncide avec la rotation d'axe (Δ,-u) et d'angle -α.
Illustration
Image de la rotation d'un angle de π/4 autour de l'axe Δ de vecteur unitaire u.
H est la projection orthogonale de M sur Δ.
v est le vecteur unitaire // à HM.
w est un vecteur unitaire tel que la base (u,v,w) soit orthonormée directe.
Le point M' est le transformé de M par la rotation plane d'angle π/4 et de centre H dans le plan orthogonal à Δ passant par M et orienté par (v,w).

Image générée avec GeoGebra3D

Le déplacement ne possède aucun point fixe.

 Éliminons encore le cas des translations.
Soit f un déplacement affine de l'espace sans aucun point fixe.
Soit M un point quelconque de l'espace et M' son image.
On désigne par t le vecteur MM', et soit T la translation de vecteur t.
Alors T-1of est une rotation vectorielle r admettant M comme point fixe.
En outre si f n'est pas une translation, T-1of non plus.
T-1of est donc une rotation affine de l'espace, soit r d'axe Δ.
Soit Δ la droite vectorielle directrice de Δ et H le plan vectoriel orthogonal de cette droite.
Le vecteur t peut se décomposer de manière unique sous la forme t=k+hkΔ et hH.
Si T1 est la translation de vecteur h et T2 la translation de vecteur k, on a :
T=T1oT2=T2oT1
Donc f=Tor=T1o(T2or)
Nous affirmons que :
T2or est une rotation affine de l'espace d'axe parallèle à Δ
En effet soit H un plan affine orthogonal à Δ et soit r' la rotation plane induite par r sur H.
D'après les résultats vus sur les rotations planes, on sait que T2or' est une rotation plane du plan H, et son centre est invariant par T2or.
Il s'ensuit que T2or est une rotation affine ρ de l'espace et que f peut s'écrire T1oρ.
Δ étant une droite de l'espace, nous appelons 'vissage' ou encore 'déplacement hélicoïdal' d'axe Δ tout produit d'une rotation d'axe Δ par une translation de vecteur // à Δ
Illustration
M" est l'image de M par un vissage (vecteur de translation 2u)

Image générée avec GeoGebra3D
Il résulte de ce qui précède que :
Tout déplacement de l'espace qui n'admet aucun point fixe et qui n'est pas une translation est un vissage.

Classification suivant les invariants.

Il résulte du paragraphe qui précède que les déplacements de l'espace peuvent être organisés suivant leurs points invariants.
Invariants Déplacements
Espace E entier Identité
Plan
Droite Rotation
Point
Translation de vecteur non nul ou vissage
En outre il est clair que :
L'axe d'un vissage est globalement invariant par ce vissage.
Si f est un vissage f=tor où t est une translation // à l'axe de r alors r et t commutent.

Animation vissage


Amplitude de la translation entre -3 et +3 :
Mesure de l'angle en degrés entre -180 et +180 :