Cette page se résume à quelques définitions.
Nous ne proposons aucun résultat, il s'agit simplement d'accroître la 'bibliothèque' du lecteur en matière de figures de l'espace qui se résume pour l'instant : Les figures que nous allons définir dans cette page et la suivante permettent d'enrichir notablement cette collection.
En outre, nous utiliserons abondamment ces figures dans le prochain chapitre consacré aux coniques.

Courbes planes

Nous supposons pour le moment acquis le concept de 'courbe plane'.
Une telle courbe pouvant être définie comme :
  1. L'ensemble des points M(t)(x(t),y(t)) où le plus souvent x(t) et y(t) sont deux fonctions continues de la variable t laquelle parcourt un intervalle I (courbe paramétrée)
  2. Une équation du type y=f(x), la courbe se confondant alors avec le graphe de la fonction f
  3. Une équation cartésienne (par exemple x²+y²=r²) pour un cercle
La courbe paramétrée représente le cas le plus général, en effet le cas 2) correspond simplement aux courbes où le paramètre est l'abscisse.
Quand au cas 3) il peut se ramener, dans la plupart des cas simples, au cas 2) donc au cas 1) par le théorème des fonctions implicites.

Cylindres

On considère une courbe plane paramétrée B, c'est à dire une application t → M(t) d'un intervalle I de ℝ à valeurs dans un plan P de l'espace E.
On suppose également qu'on s'est donné une 'direction' matérialisée par un axe, c'est à dire une droite Δ et un vecteur directeur w de cette droite.
Pour chaque valeur de t, on considère la droite D(t) passant par M(t) et de vecteur directeur w. On appelle 'cylindre' de base B et de direction Δ l'ensemble engendré par les droites D(t), c'est à dire leur réunion.
C'est une définition très générale et qui recouvre de nombreux cas particuliers.
Un cylindre est dit 'droit' si la direction Δ est orthogonale au plan de la base.
Dans le cas contraire il est dit 'oblique'.
On désigne par P(t,s) le point de la droite D(t) de paramètre s dans la représentation paramètrique de D(t) liée au choix du point M(t) et du vecteur directeur w.
Il résulte de la définition qui précède qu'un cylindre est une surface paramétrée (à deux paramètres donc).
L'application (t,s) → M(t,s) définit donc une application surjective de I×ℝ sur le cylindre.
Nous verrons plus tard qu'une grand nombre de propriétés de la surface peuvent être déduites de l'étude analytique de cette fonction mais ceci suppose connues des notions d'analyse sur les fonctions de plusieurs variables (continuité, différentiabilité, etc.).

Cylindre à base circulaire

Quand la base est un cercle, on retrouve la notion usuelle de 'cylindre'.
Voici une animation qui vous permet de voir la génération d'un cylindre droit à base circulaire.

Prismes

On peut également prendre pour base un polygone convexe, comme un triangle ou un quadrilatère.
Dans ce cas le cylindre obtenu porte plus familièrement le nom de 'prisme'.
L'animation suivante vous permet de voir la génération d'un prisme oblique à base carrée.

Cylindres tronqués

En coupant un cylindre par deux plans parallèles au plan de la base, on obtient un 'cylindre tronqué'.
L'image GeoGebra suivante vous permet de voir un tronc de prisme droit à base triangulaire.

Cônes

On considère une courbe plane paramétrée B, c'est à dire une application t → M(t) d'un intervalle I de ℝ à valeurs dans un plan P de l'espace E.
On suppose également qu'on s'est donné un point A n'appartenant pas au plan P et appelé 'sommet'.
Pour chaque valeur de t, on considère la droite D(t) passant par M(t) et A. On appelle 'cône' de base B et de sommet A l'ensemble engendré par les droites D(t), c'est à dire leur réunion.
On désigne par P(t,s) le point de la droite D(t) de paramètre s dans la représentation paramètrique de D(t) liée au choix du point M(t) et du vecteur directeur w unitaire et de même sens que AM(t).
Il résulte de la définition qui précède qu'un cône, comme un cylindre, est une surface paramétrée (à deux paramètres donc).
L'application (t,s) → M(t,s) définit donc une application surjective de I×ℝ sur le cône.
La même remarque ci-dessus faite pour les cylindres s'applique également aux cônes.

Cônes circulaire

Ce sont les cônes dont la base est un cercle.
Voici une animation permettant de voir la génération d'un cône circulaire.

Cônes à base polygonale

Voici une animation permettant de voir la génération d'un cône à base carrée.

Troncs de cônes

Un 'tronc de cône' est délimité par deux plans parallèles au plan de la base, l'un de ces plans peut passer par le sommet.
L'image GeoGebra qui suit vous permet de voir un tronc de cône à base circulaire.

Equations cartésiennes

Les points d'une surface réglée sont donc caractérisés par 3 équations à 2 inconnues :
{ x = x ( t , s ) y = y ( t , s ) z = z ( t , s )
constituant une représentation paramétrique de la surface.
Il est parfois possible d'extraire de cette représentation une équation unique du type f(x,y,z)=0 caractérisant les points de la surface, une telle équation (comme dans le cas d'un hyperplan) est dite équation 'cartésienne' de la surface réglée.
Traitons un exemple ; prenons un cône à base circulaire.
Le point M(t) décrit la base circulaire d'équation x²+y²=1 dans le plan z=0 paramétrée par : t → M(t)(cos(t),sin(t),0).
Le sommet S est S(0,0,1), de sorte qu'un vecteur directeur de la droite (MS) est :
w ( t ) = cos ( t ) sin ( t ) 1
Une représentation paramétrique du cône est donc :
{ x ( t , s ) = s cos ( t ) y ( s , t ) = s sin ( t ) z ( s , t ) = 1 s
De là nous tirons x2+y2=s2 et s=1-z, d'où finalement l'équation cartésienne de ce cône :
x 2 + y 2 = ( 1 z ) 2

Surfaces réglées plus générales

On peut s'affranchir de la condition suivant laquelle les droites Dt doivent soit être toutes parallèles à une direction de droite donnée (cas des cylindres), soit toutes passer par un même point (cas des cônes).
De façon plus générale :
On appelle 'surface réglée' S de 'directrice' ou de 'base' B où B est une courbe paramétrée t → M(t) , la surface engendrée par une famille de droites Dt, chaque droite Dt passant par le point M de paramètre t de la courbe B.
Les droites Dt s'appellent alors les 'génératrices' de la surface réglée S.
Notons que la définition ci-dessus ne suppose plus explicitement que la directrice est une courbe plane.
Une surface réglée apparait donc naturellement comme un sous-ensemble doublement paramétré de l'espace.
Le point M(t,s) est le point de la droite Dt de paramètre s dans une représentation paramétrique de Dt, liée le plus généralement au point M(t) de la base et un vecteur unitaire u(t).
Le point M(t,s) est donc caractérisé par M(t,s)=M(t)+su(t).

Quelques exemples

Bande (ou ruban) de Möbius
Voici une animation vous permettant de voir la génération de cette surface.

Le point M(t) parcourt un cercle. Au départ la droite Dt est verticale orientée dans le sens de Oz.
En même temps que M se déplace la droite tourne dans le plan déterminé par l'axe Oz et le point M.
Quand le point M a fait un tour complet la droite à fait un demi tour.
Elle revient au point initial après avoir inversé son orientation.
Pour le traitement d'un cas simple voir cet exercice.
Conoïde
Voici une animation vous permettant de voir la génération de cette surface.

Le point M(t) parcourt un cercle.
La droite D(t) passe par le point M(t) elle s'appuie sur une droite D' parallèle au plan du cercle et en étant orthogonale à D'.
Pour le traitement d'un cas simple voir cet exercice.
Hélicoïde
Voici une animation vous permettant de voir la génération de cette surface.

La projection du point M sur le plan z=0, décrit un cercle de centre O.
En même temps qu'il tourne le point M s'élève proportionellement à l'angle de la rotation.
La droite Dt est orthogonale à l'axe Oz, et elle coupe cet axe.
Pour le traitement d'un cas simple voir cet exercice.