Préliminaires

Nous considérons une courbe paramétrée telle que définie ici :
t → M(t)(x(t),y(t),z(t)) où t parcourt un intervalle I de ℝ et où pour tout t ∈ I le point M(t) reste dans un même plan.
Si nous effectuons maintenant une rotation d'une telle courbe autour d'un axe, que se passe-t-il ?
Il est clair que la courbe est transformée en une autre courbe plane située dans un autre plan se déduisant du premier par la rotation.
Traitons le problème analytiquement dans un repère orthonormé (O, u,v,w) où w est un vecteur directeur de l'axe de la rotation.
Soit θ l'angle de la rotation relativement à l'axe orienté par w.
La matrice de la rotation est donc :
cos ( θ ) sin ( θ ) 0 sin ( θ ) cos ( θ ) 0 0 0 1
De sorte que les coordonnées de l'image du point M(t) par la rotation d'angle θ a pour coordonnées :
cos ( θ ) sin ( θ ) 0 sin ( θ ) cos ( θ ) 0 0 0 1 x ( t ) y ( t ) z ( t ) = x ( t ) cos ( θ ) y ( t ) sin ( θ ) x ( t ) sin ( θ ) + y ( t ) cos ( θ ) z ( t )

Définitions

Une 'surface de révolution' S est la partie de l'espace engendrée par la rotation d'une courbe paramétrée plane C autour d'un axe Δ.
Donc si C(θ) est la courbe obtenue par rotation de C d'un angle θ autour de Δ S est par définition la réunion de tous les ensembles C(θ) quand θ parcourt l'intervalle [0,2π[.
S = θ [ 0,2 π [ C ( θ )
Il résulte de ce qui précède qu'une surface de révolution est un ensemble paramétré à deux paramètres c'est l'ensemble des points M(θ,t) de coordonnées :
x ( t ) cos ( θ ) y ( t ) sin ( θ ) x ( t ) sin ( θ ) + y ( t ) cos ( θ ) z ( t )
Notons que certaines surfaces connues sont des surfaces de révolution : Pour voir ce qui se passe quand on fait tourner un cercle autour d'un axe qui n'est pas un diamètre, voir par exemple cet exercice.
Pour voir ce qui se passe quand au lieu d'un cercle on fait tourner une ellipse autour de chacun de ses deux axes de symétrie, voir par exemple cet exercice.

Exemple

L'animation qui suit vous permet de voir la génération d'une surface de révolution engendrée par la rotation de la parabole d'équation y=x² autour de l'axe Δ=Oy.
Une telle surface s'appelle un 'paraboloïde' de révolution.


Image d'après: http://www.mathcurve.com/surfaces/paraboloidrevolution/paraboloidederevolution.jpg (Robert Ferréol)

Equations cartésiennes

Comme dans le cas des surfaces réglées nous avons une caractérisation des points d'une surface de révolution par un système de 3 équations à 2 inconnues :
{ x = x ( θ , t ) y = y ( θ , t ) z = z ( θ , t )
Il est parfois possible de résumer ce système en une seule équation du type f(x,y,z)=0, caractéristique de la surface.
Cela peut se faire par une technique d'élimination. Par exemple calculer t en fonction de x et θ avec la première équation, puis porter le résultat dans les deux autres. Calculer ensuite θ en fonction de x et y avec la deuxième équation et porter dans la troisième.
En pratique la méthode ci-dessus conduit à des calculs assez complexes, de sorte qu'on aura souvent recours à des astuces pour parvenir à une équation simple.
Traitons par exemple le paraboloïde de révolution ci-dessus.
Soit θ un réel entre 0 et 2π posons pour simplifier c=cos(θ) et s=sin(θ), de sorte qu'on a c²+s²=1.
Soit (O, i,j,k) le repère orthonormé initial et (O, u,v,w)son transformé dans la rotation d'axe Oz et d'angle θ.
Soit M un point du paraboloïde de coordonnées (x,y,z) dans le repère (O, i,j,k) et X,Y,Z dans le repère (O, u,v,w)
En utilisant les formules :
X=cx-sy
Y=sx+cy
Z=z
et en écrivant que Y=0 et Z=X2, il vient x2+y2-z=0.
Vous pourrez dans cet exercice établir d'autres formules liées à la rotation d'une hyperbole.