Les similitudes de l'espace relèvent de la définition générale des similitudes d'un espace euclidien qui sont décrites dans cette page.
Parmi ces similitudes on trouve évidemment les homothéties. Le théorème essentiel dit que :
Toute similitude de l'espace de rapport k≠1 possède un unique point fixe Ω.
La démonstration est rigoureusement la même que dans le cas du plan (voir cette page). On remarquera que la dimension n'est pas utilisée.
Soit donc s une similitude de rapport k≠1 et Ω son point fixe. Soit h l'homothétie de centre Ω et de rapport k.
Alors soh-1 est une isométrie de l'espace admettant &Omega pour point fixe.
Il suffit donc pour caractériser les similitudes de l'espace de reprendre le tableau synoptique des isométries et de ne conserver que celles qui possèdent au moins un point fixe.
Nous avons alors le résultat suivant :
Une similitude de l'espace, de rapport k≠1 est le produit commutatif d'une homothétie de rapport k et de centre Ω par une isométrie de l'espace qui est :
  1. soit une rotation autour d'un axe contenant Ω
  2. Soit une réflexion relativement à un plan contenant Ω
  3. Soit une réflexion relativement à un plan composée avec une rotation de centre Ω dans ce plan
Une similitude négative de rapport 1/2 transforme le tétraèdre vert en le tétraèdre rouge.

Image générée avec GeoGebra2D