Définitions

Nous avons déjà donné la définition des sphères et de leurs plans tangents dans cette page.
On appelle 'rayon' d'une sphère tout segment joignant le centre à un point de la sphère.
Deux points A et B d'une sphère sont dits 'diamétralement opposés' si le segment [AB] contient le centre de la sphère.
On appelle 'diamètre' d'une sphère tout segment joignant deux points diamétralement opposés. Les diamètres mesurent donc tous 2r où r est le rayon de la sphère.

Positions relatives d'une sphère et d'un plan

Soit S une sphère et P un plan dans l'espace à 3 dimensions. Soit O le centre de la sphère, A la projection ortogonale de O sur P. Soit r le rayon de la sphère et d la distance OA, c'est à dire encore la distance de O à P.
Alors on a les 3 possibilités suivantes :
Le critère de discrimination est le nombre d.
La démonstration est immédiate, elle fait intervenir la définition d'une sphère, la projection orthogonale d'un point sur un plan et ses propriétés et le théorème de Pythagore.

Sphère et plan sécants


Image générée avec GeoGebra3D
Dans ce cas le cercle intersection a un rayon au plus égal à celui de la sphère (par pythagore toujours).
Les grands cercles d'une sphère sont, par définition, les intersections de la sphère avec un plan passant par l'origine.
Les grands cercles ont donc le même rayon que la sphère.

Sphère et plan tangents


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Sphère et plan disjoints


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En outre si Δ est la droite orthogonale en A à P, Δ est un axe de symétrie pour la figure S ∩ P.
Cela résulte du fait que Δ passe toujours par le centre de la sphère, que la sphère est globalement invariante dans la symétrie orthogonale par rapport à toute droite passant par son centre et que P est globalement invariant dans la symétrie par rapport à toute droite qui lui est orthogonale.

Positions relatives d'une sphère et d'une droite

La situation est tout à fait comparable à celle qui précède.
Si O est le centre de la sphère S de rayon r et A sa projection orthogonale sur D :
  1. Si AO > r intersection vide
  2. Si AO=r , un unique point d'intersection, on dit que la droite est tangente à la sphère
  3. Si AO < r , deux points d'intersection, on dit que la droite est sécante à la sphère
Images générées avec GeoGebra3D
On se ramène à la dimension 2 en considérant le plan défini par la droite d et le point O.

Positions relatives de deux sphères

Soient S1 et S2 deux sphères de l'espace, non concentriques et soient O1 et O2 leurs centres respectifs, r1 et r2 leurs rayons, Δ la droite (O1,O2) et d la distance O1O2.
On suppose r2 ≥ r1. Dans ces conditions :
Δ est un axe de symétrie pour la figure S1 ∩ S2.
S1 et S2 ne se coupent pas si d > r1+r2 ou d <r2-r1.
S1 et S2 ont un seul point commun M si d=r1+r2 ou d=r2-r1 et les deux sphères ont même plan tangent en M.
Dans tous les autres cas S1 et S2 se coupent en un cercle situé dans un plan orthogonal à Δ.

Equations en repère orthonormé

Dans un repère orthonormé l'équation de la sphère S de centre A(a,b,c) et de rayon r est (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2.
Cela provient du fait que M ∈ S ⇔ MA=r ⇔ MA2=r2.
L'équation du plan tangent en M0(x0,y0,z0) à la sphère de centre A(a,b,c) et de rayon r est (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)+(z-c)(z0-c)=r2.
Cela s'obtient en écrivant que si M est sur le plan tangent, le vecteur MM0 est orthogonal au vecteur AM0.
Remarque:
En développant l'équation prend la forme x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 où d=a2+b2+c2-r2=OA2-r2 appelée parfois forme 'normale'.

Puissance d'un point par rapport à une sphère

Soit P un point de l'espace on mène par P une sécante à la sphère S de centre O qui coupe S en C et D.
Dans ces conditions :
Le produit PC ¯ × PD ¯ est constant.
Il est encore égal à PT2 si T est le point de contact d'une tangente issue de P.
Il est encore égal dans tous les cas à d2-r2 où d représente la distance de P à O et r le rayon de la sphère.
On appelle ce nombre la 'puissance de P par rapport à S' notation P(P,S).

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Pour la démonstration on se ramène à la dimension 2 en considérant le plan passant par la sécante et le point O centre de la sphère.
Il suffit alors de considérer la démonstration pour le plan (puissance d'un point par rapport à un cercle).
Remarque:
Si M(X,Y,Z) la puissance de M par rapport à la sphère S de centre A(a,b,c) et de rayon r est donc :
P(M,S)=(X-A)2+(Y-b)2+(Z-c)2-r2 Soit en développant : X2+Y2+Z2-2aX-2bY-2cZ+d (où d=a2+b2+c2-r2)
Donc
La puissance d'un point par rapport à une sphère s'obtient en remplaçant x,y et z par les coordonnées de M dans le membre de gauche de l'équation normale de cette sphère.