Définitions

Dans l'espace euclidien à 3 dimensions on appelle 'tétraèdre'la figure formée par 4 points A,B,C,D affinement indépendants.
Les points A,B,C,D s'appellent les 'sommets' du tétraèdre.
Les segments [AB],[AC],[AD],[BC],[BD], [CD] s'appellent les 'arêtes'.
Deux arêtes n'ayant aucun sommet commun dont dites 'opposées'.
Les triangles BCD, ACD, ABD, ABC s'appellent les 'faces'.
Remarque: La plupart de ces définitions valent en fait pour tous les systèmes de n points (polyèdres).

Tétraèdres particuliers

Tétraèdres réguliers (voir cet exercice)
Tétraèdres trirectangles
Ce sont ceux qui ont toutes leurs arêtes
et toutes leurs faces égales.
Les 6 faces sont alors des triangles équilatéraux
Ce sont ceux qui ont trois faces
ayant un angle droit sur le même sommet

Centre de gravité

On appelle 'médiane' d'un tétraèdre toute droite joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée.
Dans tout téraèdre les 4 médianes sont concourantes en un point appelé 'centre de gravité' du tétraèdre.
Ce point est l'isobarycentre des 4 sommets.
Il est situé sur chaque médiane au 1/4 en partant du pied (ou au 3/4 en partant du sommet).
Cette propriété résulte du théorème d'associativité des barycentres.
Voici maintenant une appliquette vous montrant un téraèdre ABCD.
G1 est le centre de gravité du triangle ABC.
G2 est le centre de gravité du triangle DAB.
G3 est le centre de gravité du triangle DAC.
G4 est le centre de gravité du triangle DCB.
G est le centre de gravité du tétraèdre.
Vous pouvez avec les boutons faire varier les coordonnées des 4 sommets.
vous pouvez faire tourner la figure avec la souris.


Sphère circonscrite

Pour tout tétraèdre (non aplati), il existe une et une seule sphère passant par les 4 sommets.
On l'appelle la sphère 'circonscrite' au tétraèdre.
Preuve: Soit K le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, et soit Δ la droite orthogonale en K au plan (ABC).
Alors, par le théorème de Pythagore, tout point de Δ est équidistant des 3 sommets A,B et C.
Soit maintenant P le plan médiateur de [AD] (ou de [BD] ou de [CD]).
L'hypothèse faite sur les 4 points A,B,C,D assure que P et Δ sont sécants en un point J.
Ce point est évidemment équidistant des 4 sommets.

Image générée avec GeoGebra3D

Sphères tangentes

Tout comme dans le cas du triangle, les plans bissecteurs des couples de faces, qui se coupent sur les arêtes, sont des ensembles de points équidistants de deux faces.
L'intersection de deux tels plans est donc une droite formée de points équidistants de 3 faces.
Si cette droite coupe tout plan bissecteur du couple formé par une quelconque de ces 3 faces avec la quatrième face en un point ce point est équidistant des 4 faces et est donc le centre d'une sphère tangente aux quatre faces.
Si e1=0, e2=0 e3=0 et e4=0 sont les équations normales des faces, les centres de ces sphères sont solutions des 8 systèmes linéaires obtenus à partir de
{ e 1 = e 2 e 2 = e 3 e 3 = e 4
Tout tétraèdre possède donc plusieurs sphères tangentes au 4 plans des faces.
Les sphères tangentes aux quatre plans entrent dans une classification :
  1. Sphère tangente aux 4 faces en un point de ces faces (considérées comme des triangles), c'est la sphère 'inscrite'.
  2. Sphères tangentes à une face en un point de cette face et aux autres faces en un point de leur prolongement, ce sont les sphères 'ex-inscrites'.
  3. Sphères tangentes aux trois faces en un point de leur prolongement (ne touchant pas le tétraèdre proprement dit) et appelées quelquefois 'sphères des combles'.
On peut démontrer que les 5 sphères (autres que les sphères des combles) existent toujours, les trois autres pouvant être rejetées à l'infini.
Pour une démonstration complète voir par exemple:
Géométrie de Marcel Berger (Cedic Fernand Nathan)
Volume 2 (triangles, cercles et sphères)
10.6.8 (page 168) ('les sphères des combles').
NB:Nous remercions Mr Laurent Chaumard de Montpellier qui nous a fait rectifier l'énoncé initialement faux figurant en cette place.

Sphère inscrite


Image générée avec GeoGebra3D

Sphères ex-inscrites


Image : http://texgraph.tuxfamily.org/GalerieJvx.html

Hauteurs

Dans un tétraèdre on appelle 'hauteur' toute droite passant par un sommet et orthogonale à la face opposée à ce sommet.

Image générée avec GeoGebra2D
A la différence du triangle, les 4 hauteurs ne sont en général pas concourantes, mais elles peuvent l'être (voir le cas du tétraèdre trirectangle ainsi que celui du tétraèdre régulier, entre autres).
Si les hauteurs sont concourantes on dit que le tétraèdre est 'orthocentrique'.
Pour une caractérisation des tétraèdres orthocentriques voir cet exercice.
Pour un contre-exemple voir cet exercice.