Définition

Une isométrie est dite 'négative' ou est encore appelée un 'antidéplacement' si l'application linéaire orthogonale associée est elle-même négative (de déterminant -1).
Il résulte de cette définition que :
Un antidéplacement transforme tout repère orthonormé direct en un repère orthonormé rétrograde
Pour qu'une isométrie soit un antidéplacement il suffit qu'il transforme un repère orthonormé particulier en un repère orthonormé d'orientation différente.
L'ensemble des antidéplacements d'un espace affine A se note Is-(A).
A l'inverse des déplacements, les antidéplacements ne forment pas un sous-groupe de Is(A).
De fait, la composée de deux antidéplacements est un déplacement, et la composée d'un antidéplacement avec un déplacement est un antidéplacement.

Quelques exemples

Symétries centrales

Les symétries centrales sont des antidéplacements si et seulement si la dimension de l'espace est impaire.
Il suffit pour le voir d'examiner la matrice d'une telle application dans un repère quelconque. Cette matrice est diagonale avec seulement des -1 sur la diagonale.

Symétries orthogonales

Un autre exemple important est celui des symétries orthogonales par rapport à un hyperplan, qu'on appelle souvent des 'réflexions'.
Réflexion par rapport à une droite dans le plan.

Réflexion par rapport à un plan dans l'espace.
Plus généralement les symétries orthogonales par rapport à des variétés de codimension impaire sont des antidéplacements.
En effet dans un repère orthonormé dont la base est constituée de vecteurs de la variété et de vecteurs de son orthogonal, la matrice de l'application linéaire associée est diagonale avec un nombre impaire de coefficients -1, son déterminant est donc égal à -1.

Un résultat important

Dans un espace euclidien A de dimension finie, les réflexions engendre le groupe Is(A) en ce sens que toute isométrie se décompose comme produit (composé) d'au plus n réflexions
En effet toute réflexion est involutive. donc si f est une réflexion quelconque et i l'identité on a i=fof.
On raisonne maintenant par récurrence sur la dimension de A.
Si f n'est pas l'identité, soit M un point non égal à son image M' et soit G l'hyperplan médiateur de [MM'] et g la réflexion par rapport à G, alors la droite (MM') est invariante par gof.
Nous décomposons alors la restriction de gof à G qui a pour dimension dim(A)-1 en réflexions par rapport à des hyperplans de G. Ces réflexions de G sont prolongeables à des réflexions de A par rapport à des hyperplans obtenus en adjoignant la droite (MM') aux hyperplans de G. D'où notre résultat.

Passer dans la dimension supérieure

Des êtres 'plans' (situés dans le plan des deux triangles) ne sauraient imaginer un déplacement permettant de faire coïncider les deux triangles présentés ci-après.

Cependant si le problème est posé en dimension 3, on peut commencer par faire effectuer au triangle ABC un demi-tour autour de la droite (AC) (retournement) puis faire ensuite coïncider les deux triangles par un déplacement plan.
C'est que la restriction à un plan d'un déplacement de l'espace peut être un antidéplacement du plan.
De la même façon, en extrapolant il est impossible en dimension 3 de concevoir un déplacement permettant de superposer une main gauche et une main droite, mais en dimension 4 c'est un jeu d'enfant. Malheureusement si nous pouvons parfaitement écrire les formules analytiques d'une telle transformation nous pouvons difficilement la visualiser.
d'après un dessin d'une élève de 4° proposé par Sophie Pontzeele.