Définitions

Il s'agit ici de généraliser les notions planes de cercle et de disque, puis dans l'espace de sphère et de boule, à des espaces de dimension quelconques.
Il existe des mots comme celui "d'hypersphère" mais ils sont peu employés. En fait, suivant une tradition bien établie en topologie nous généralisons les définitions de la dimension 3 à la dimension n en conservant les mêmes appelations. Ainsi :
Une 'sphère' (n-dimensionelle) de centre O et de rayon r est l'ensemble des points d'un espace euclidien qui se trouvent exactement à la distance r du point O.
Une telle sphère se réduit donc à un cercle dans le cas de la dimension 2 et à 2 points en dimension 1.
Une 'boule ouverte' (n-dimensionelle) de centre O et de rayon r est l'ensemble des points d'un espace euclidien qui se trouvent à une distance du point O strictement inférieure à r.
Ainsi dans le cas de la dimension 2 une telle boule ouverte correspond à un disque ouvert, et dans le cas de la dimension 1 à un segment ouvert.
Une 'boule fermée' (n-dimensionelle) de centre O et de rayon r est l'ensemble des points d'un espace euclidien qui se trouvent à une distance du point O au plus égale à r.
La boule fermée est donc la réunion de la boule ouverte et de la sphère.
Signalons tout de suite que :
Une sphère coupe une droite en au maximum deux points.
Prenons un repère centré en O centre de la sphère.
Les points M(x1, ... ,xn) de la sphère sont caractérisés par x12+x22+ ... +xn2=r2 qui est donc l'équation cartésienne de la sphère.
Soit mainetnant D une droite de représentation paramétrique :
xi=ai+λui 1 ≤ i ≤ n
La substitution des xi par leurs valeurs en fonction du paramètre λ donne une équation du second degré en λ qui possède au maximum deux solutions.
On dit que la droite D est tangente à la sphère S en M, si elle ne rencontre S qu'au seul point M.

Hyperplan tangent

Soit dans un espace affine euclidien une sphère S de centre O, de rayon r > 0, et soit M un point de cette sphère.
On appelle 'hyperplan tangent à S en M' l'hyperplan qui passe par M et qui est orthogonal à (OM).
Cet hyperplan tangent possède quelques propriétés remarquables :
Si H est l'hyperplan tangent à S en M, alors :
En effet, grâce au théorème de Pythagore si N est un point de H distinct de M on a ON2=OM2+ON2, donc ON > OM = r.
Soit N un point appartenant au demi-espace délimité par H et auquel n'appartient pas O soit K l'intersection de (ON) avec H, alors ON=OK+KO or KO > r donc ON > r.
Si N est un point quelconque extérieur à la boule fermée B (ON > r), alors la distance de N à B est égale à ON-r, elle est effectivement atteinte en un point et un seul de S, ce point est l'intersection de S avec la droite (ON) située du côté de N par rapport à O.
Soit K l'intersection de (ON) et S situé du même côté de O que N, alors NK=ON-r, ce qui prouve déjà que d(N,B)< NK.
Si maintenant P est un point quelconque de B on a NP ≥ NO-OP ≥ NO -r, ce qui complète notre assertion.
Si D est une droite tangente à S en M alors D est toute entière contenue dans l'hyperplan tangent à S en M.
Plaçons nous en effet dans le plan défini par le point O et la droite D. Ce plan coupe la sphère suivant un cercle de centre O et de rayon r.
Il suffit donc de démonter que dans le cas de la dimension 2 toute droite qui passe par un seul point M d'un cercle est nécessairement orthogonale à (OM).
En effet, si une telle droite n'est pas orthogonale à (OM) soit H la projection orthonale de O sur D, alors OH ≤ r.
Soit N le symétrique de M par rapport à H, alors on a ON=OM donc N est un point de la sphère contrairement à l'hypothèse.

Illustrations

Droite tangente à un cercle.

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Plan tangent à une sphère.

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Retour sur les hyperplans bissecteurs

Il résulte de la définition des hyperplans bissecteurs et de la définition des plans tangents que :
Les hyperplans bissecteurs sont constitués des centres de sphères tangentes aux deux hyperplans de base.
Voici une illustration dans le cas du plan :
on a représenté deux droites a et b leurs médiatrices d et c.

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Retour sur les hyperplans médiateurs

Il résulte de la définition de l'hyperplan médiateur, et de celle des sphères que :
L'hyperplan médiateur de [MN] est le lieu géométrique des centres de sphères passant par M et N.
Voici une illustration dans le cas du plan Voici une illustration dans le cas de l'espace

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Topologie sur les espaces affines euclidiens

Sur un espace affine euclidien, comme dans le cas de l'ensemble des réels nous allons définir des ensembles ouverts, des ensembles fermés, l'intérieur d'un ensemble, son adhérence, etc ..
Un sous-ensemble de A est dit 'ouvert' si chaque fois qu'il contient un point M il contient une boule de centre M et de rayon r > 0.
Les ouverts possèdent les propriétés suivantes :
Tout cela se vérifie instantanément.
Un ensemble est dit 'fermé' si son complémentaire est ouvert.
On en déduira les propriétés des ensembles fermés.
Un ensemble X est un 'voisinage' d'un point M s'il contient un ouvert contenant M.
"L'intérieur" d'un ensemble X est la réunion de tous les ouverts contenus dans X c'est donc le plus grand ouvert contenu dans X.
"L'adhérence" d'un ensemble X est l'intersection de tous les fermés contenant X, c'est le plus petit fermé contenant X.
La 'frontière' d'un ensemble X est l'intersection de l'adhérence de X avec l'adhérence de son complémentaire.