Rappels

Nous nous plaçons dans le cas d'un espace euclidien A de dimension finie ayant E pour espace vectoriel directeur.
Nous rappelons que relativement à un repère R=(O,B) quelconque, tout hyperplan affine F possède une équation cartésienne (définie à une constante multiplicative non nulle près), du type : a1x1+a2x2+ ... +anxn=b
où les ai ne sont pas tous nuls.
Nous rappelons également que tout vecteur u de l'hyperplan vectoriel H directeur de F et ayant des coordonnées (u1,u2, ... ,un) dans la base B du repère R est caractérisé par :
a1u1+a2u2+ ... +anun=0
de sorte que (a1, ... ,an) sont les coordonnées dans la base B* duale de B de la forme linéaire non nulle f dont H est le noyau.
Si maintenant on suppose B orthonormée les ai s'identifient aux coordonnées d'un vecteur a de E et l'expression a1u1+a2u2+ ... +anun s'écrit tout simplement a.u.
On voit donc que dans ce cas H est l'orthogonal de la droite vectorielle de vecteur directeur a.
En résumé dans le cas d'un repère orthonormé, si on connait un vecteur orthogonal à F soit a, les coefficients ai d'une équation cartésienne de F sont tout simplement les coordonnées du vecteur a.
La constante b s'obtient alors en remplaçant x1, ... ,xn par les coordonnées d'un point connu M de F.
Nous convenons maintenant d'appeler vecteur 'normal' à F tout vecteur orthogonal à F et de norme 1.

Exemple de calcul

Déterminer l'équation cartésienne du plan P passant par les trois points :
A(1,0,0), B(0,1,0), C(1,1,1).
On obtient tout de suite les coordonnées des vecteurs AB et AC directeurs du plan :
AB 1 1 0 et AC 0 1 1
Le produit vectoriel a = AB AC est alors orthogonal au plan P.
Un rapide calcul donne a 1 1 1
On en déduit que l'équation de P est de la forme x+y-z=b.
En écrivant que A ∈ P on obtient b=1.
d'où l'équation finale de P: x+y-z=1.

Equation normale d'un hyperplan

Une équation 'normale' ou 'eulérienne' d'un hyperplan, c'est une équation obtenue à partir d'un vecteur normal au plan (donc unitaire au sens précédent).
Il résulte immédiatement de la définition que tout hyperplan possède deux équations normales identiques au signe près.

Signification de la constante b dans l'équation normale

Soit a1x1+a2x2+ ... +anxn=b une équation normale d'un hyperplan F.
Soit O' la projection orthogonale de O sur F et soient y1, ... ,yn les coordonnées de O'.
Le vecteur OO' a pour cooordonnées y1, ... ,yn et il est colinéaire au vecteur normal n à F de composantes (a1,a2, ... ,an) dans la base orthonormale B.
Il en résulte que le produit scalaire OO'.n a pour valeur la disatnce OO' soit la distance de O à F au signe près selon que OO' et n sont de même signe ou non.
Et comme O' ∈ F il en résulte que la constante b est égale à la distance de l'origine à F au signe près selon l'orientation de n.

Exemple de calcul

Si nous reprenons l'exemple donné plus haut a = 3 une équation normale de P est donc 1 3 x + 1 3 y 1 3 z = 1 3

Utilisation de l'équation normale d'un hyperplan

Soit F un hyperplan d'un aspace affine euclidien de dimension finie et d'équation normale :
a1x1+a2x2+ ... +anxn-b=0
Pour tout point M de coordonnées (y1, .... ,yn), nous définissons la 'puissance de M par rapport à F' comme étant le scalaire a1y1+a2y2+ ... +anyn-b
obtenu en remplaçant les inconnues xi par les coordonnées yi de M dans une équation normale de F.
Nous avons alors le résultat suivant :
La puissance de M par rapport à F est au signe près la distance de M à F selon que M se trouve du même côté de F que l'origine ou non.
La preuve est simple il suffit d'introduire la projection orthogonale M' de M sur F et la projection orthogonale O' de O sur F.
On a alors OM = OO ' + O ' M ' + M ' M . En outre MM' et OO' sont colinéaires à n tandis que OM' est un vecteur directeur de F.
On en déduit que n OM b = n M ' M qui est exactement notre proposition.

Café Python

Voici un module python qui matérialise les hyperplans dans un espace affine euclidien de dimension quelconque. Des méthodes sont proposées pour calculer une équation normale et la distance d'un point à l'hyperplan.

Ce module utilise le module 'euclidiens.py' (déjà vu) :

Ainsi que le module 'reperes.py' (déjà vu également) :