On considère dans toute cette page la figure formée par deux hyperplans affines F1 et F2 distincts.

Définition

On s'intéresse à l'ensemble des points équidistants des deux hyperplans.
Soient :
a1x1+a2x2+ ... + anxn+c1=0 une équation d'Euler de F1.
b1x1+b2x2+ ... + bnxn+c2=0 une équation d'Euler de F2.
L'égalité d(M,F1)=d(M,F2) peut être écrite :
|a1x1+a2x2+ ... + anxn+c1|= |b1x1+b2x2+ ... + bnxn+c2|
Cette égalité équivaut à la disjonction de deux égalités :
a1x1+a2x2+ ... + anxn+c1= b1x1+b2x2+ ... + bnxn+c2
et
a1x1+a2x2+ ... + anxn+c1= -(b1x1+b2x2+ ... + bnxn+c2)

Cas où les hyperplans sont strictement parallèles

On peut supposer alors que ai=bi pour 1 ≤ i ≤ n et c1 ≠ c2
Une des deux égalités donne l'ensemble vide et l'autre est :
a1x1+a2x2+ ... + anxn+c1= -a1x1-a2x2+ ... - anxn-c2
Cela nous donne donc un nouvel hyperplan d'équation :
2a1x1+2a2x2+ ... + 2anxn+c1+c2=0
On trouve donc un hyperplan parallèle à F1 et à F2 et d'équation normale :
a1x1+a2x2+ ... + anxn+(c1+c2)/2=0

Cas où les hyperplans sont sécants

Leur intersection est alors une variété H de dimension n-2.
L'ensemble cherché est alors la réunion de l'hyperplan d'équation
(a1-b1)x1+(a2-b2)x2+ ... +(an-bn)xn +(c1-c2)=0
avec l'hyperplan d'équation
(a1+b1)x1+(a2+b2)x2+ ... +(an+bn)xn +(c1+c2)=0
Ces deux hyperplans contiennent bien évidemment tous les deux H.
En outre un vecteur normal au premier est :
u de coordonnées ((a1-b1), ... ,(an-bn)).
Un vecteur normal au second est :
v de coordonnées ((a1+b1), ... ,(an+bn)).
On a alors :
u v = i = 1 n ( a i b i ) ( a i + b i ) = i = 1 n ( a i 2 b i 2 ) = i = 1 n a i 2 i = 1 n b i 2 = 1 1 = 0
Les deux hyperplans qui se coupent en H ont donc des vecteurs normaux orthogonaux.
On appelle ces deux hyperplans les deux hyperplans 'bissecteurs' de F1 et F2.

Illustrations

En dimension 2

Les hyperplans sont des droites.
Quand elles sont sécantes, les hyperplans bissecteurs sont donc deux droites perpendiculaires se coupant au même point que les deux droites initiales.
Une paire de droites (a,b) sécantes en S, et leurs bissectrices (c,d) :

En dimension 3

Les hyperplans sont des plans.
Si les deux plans initiaux se coupent en une droite, les deux plans bissecteurs se coupent suivant la même droite.
Deux plans sécants suivants une droite (bleus) et leurs plans bissecteurs (rouges) :