Définition

Soit P et Q deux points distincts d'un espace affine euclidien A de dimension finie.
Nous cherchons l'ensemble (ou encore 'lieu géométrique' selon une terminologie ancienne) des points M 'équidistants' de P et Q, c'est à dire situés à même distance de P que de Q.
Cherchons à résoudre ce problème analytiquement, en introduisant un repère R.
Dans ce repère le point P a des coordonnées (a1, ... ,an) et le point Q des coordonnées (b1, ... ,bn).
Les distances étant des nombres positifs nous avons :
d(M,P)=d(M,Q) ⇔ d(M,P)2=d(M,Q)2
En traduisant cette dernière égalité au moyen des coordonnées on obtient, si les xi sont les coordonnées de M :
i = 1 n ( x i a i ) 2 = i = 1 n ( x i b i ) 2
En développant et en éliminant les carrés on tombe sur l'équation cartésienne d'un hyperplan, car il existe au moins un indice i tel que ai ≠ bi puisque P ≠ Q.
Il est évident que cet hyperplan passe par le milieu I du segment [PQ].
Le triangle MPQ est alors isocèle de sommet M et (MI) en est une médiane, donc aussi une hauteur et (MI) est orthogonale à [PQ].
Il en résulte que :
Le lieu des points équidistants de deux points distincts P et Q est un hyperplan passant par le milieu de [PQ] et orthogonal à [PQ].
Cet hyperplan s'appelle l'hyperplan 'médiateur' de [PQ].

Illustrations

Cas du plan

Construction de la médiatrice d'un segment

Cas de l'espace à 3 dimensions