Définitions

On se place toujours dans le cadre d'un espace affine euclidien de dimension finie A ayant E pour espace vectoriel directeur.
On suppose connus les résultats relatifs aux endomorphismes orthogonaux.
Une application f : A → A est appelée une 'isométrie' si elle conserve les distances c'est à dire si ∀ (M,N) ∈ A × A on a d(f(M),f(N))=d(M,N).

Montrons tout de suite que :
Une telle application est nécessairement affine.
Fixons une origine et soit u: E → E l'application OMO'M'.
u est une application de E dans E vérifiant u ( v ) = v .
Donc, sachant que v w = 1 2 ( v + w 2 v 2 w 2 ) , il en résulte que u conserve le produit scalaire en ce sens que u ( v ) u ( w ) = v w pour tout couple de vecteurs (v,w) de E.
u transforme donc toute base orthonormale en une base orthonormale.
Nous montrons maintenant que u est linéaire.
Soit B=(e1, e2, ... , en)une base orthonormale, de sorte que B'=(u(e1), u(e2), ... ,u(en)) est aussi une base orthonormale.
Si v est un vecteur de coordonnées (λ1, λ2, ... , λn) on a :
λ i = v e i = u ( v ) u ( e i )
Ce qui prouve que u ( v ) = i = 1 n λ i u ( e i ) et donc que u est linéaire.
En outre, u transformant une base orthonormale en une base orthonormale est bijective.
Nous tirons immédiatement de là le résultat suivant :
Pour que f soit une isométrie, il faut et il suffit que f soit affine et que son application linéaire associée soit orthogonale.

Exemples

Il résulte de la définition que : Alors que :

Figures isométriques

Le mot 'figure' (géométrique) sera utilisé dorénavant et dans tout ce module comme synonyme d'ensemble de points d'un espace affine.
Comme exemple de figure on parlera parfois du 'triangle' ABC soit pour désigner : Dans de nombreux cas cela n'a pas d'importance, mais pour certaines figures il faudra être plus précis.
Ainsi par exemple pour l'ensemble des points du plan situés à la distance R de A, nous dirons le 'cercle' de centre A et de rayon R.
Mais si on veut parler de l'ensemble des points du plan situés à une distance d ≤ R de A, nous devrons dire le 'disque fermé' de centre A et de rayon R.
Deux figures F et F' d'un même espace affine A sont dites 'isométriques' si elles se correspondent dans une isométrie, c'est à dire s'il existe une isométrie f: A → A telle que f(F)=F'.
Il va de soi que :
La relation ci-dessus est une relation d'équivalence.
Toute figure est en effet isométrique à elle-même (l'application identique est une isométrie).
Si F et F' se correspondent par f alors F' et F se correspondent par f-1 (qui est aussi une isométrie).
Enfin si F correspond à F' par f et F' correspond à F" par g alors F correspond à F" par gof, c'est la transitivité.
Deux figures isométriques :

Remarque

Dans les traités de géométrie anciens on parlait de figures 'égales' au lieu de figures 'isométriques'. Cet usage n'est pas conforme aux conventions de la théorie des ensembles, cependant il est possible de rencontrer encore cette appellation dans des exposés peu rigoureux (on parlera par exemple de 'triangles égaux').

Groupe des isométries

Il résulte de ce que nous avons vu plus haut que :
Les isométries de A dans A sont des applications bijectives.
En outre il est clair que :
La composée de deux isométries est encore une isométrie.
Nous voyons donc que :
Les isométries de A forment un sous-groupe du groupe affine de A. Nous noterons ce groupe Is(A)