Deux variétés linéaires sont dites 'orthogonales' si leurs sous espaces directeurs le sont.
Il résulte immédiatement de cette définition que :
Si F1 et F2 sont des variétés linéaires orthogonales, si M1 et N1 ∈ F1 et si M2,N2 ∈ F2, alors M1N1.M2N2=0.
Ainsi dans le cas de la dimension finie l'orthogonalité de F1 et F2, entraine en particulier que dim(F1)+dim(F2) ≤ dim(A) où A est l'espace affine entier dont F1 et F2 sont des variétés.
Le cas où dim(F1)+dim(F2)=dim(A) est un cas particulier important. Dans ce cas les sous espaces directeurs E1 et E2 sont des sous-espaces orthogonaux de fait E1=E2, E2=E1 et E1 et E2 sont en somme directe E=E1⊕E2 où E est le sous-espace directeur de A.
En outre nous avons le résultat suivant :
Soit F1 une variété linéaire affine de dimension m dans un espace affine A de dimension n, et soit M un point quelconque de A, alors il existe une et une seule variété linéaire F2 de A telle que :
En effet il existe au plus une variété passant par M de dimension donnée. Soit alors E1 le sous espace directeur de F1 et E2 son orthogonal, alors F2=M+E2.
Dans le cas ci-dessus on dit que F2 est "la" variété orthogonale à F1 passant par M.
Un triangle "rectangle en A" consiste en la donnée de 3 points A,B,C tels que AB.AC=0.
Concernant les triangles rectangles nous avons le fameux 'théorème de Pythagore' :
ABC rectangle en A ⇒ BC2=AB2+AC2.
La preuve est simple quand on adopte notre approche de la géométrie. Il suffit d'écrire BC=BA+AC et de développer par bilinéarité le produit scalaire BC2 =BC.BC.
Pour ce qui concerne les démonstrations 'classiques' la plus jolie est certainement celle-ci :

image: http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Pythagore
Deux représentations de Pythagore :
Le théorème de Pythagore se généralise en dimension n :
Si u est un vecteur somme de n vecteurs orthogonaux u 1 , u 2 , ... , u n , alors u 2 = i = 1 n u i 2
La démonstration s'obtient par un calcul algébrique direct ou par une récurrence sur n.